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(1)理解等比数列的概念.
(2)掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.
(3)了解等比数列与指数函数的关系.
一、等比数列
1.等比数列的概念
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比.
注意:(1)等比数列的每一项都不可能为0;
(2)公比是每一项与其前一项的比,前后次序不能颠倒,且公比是一个与无关的常数.
2.等比中项
如果在与中间插入一个数,使,,成等比数列,那么叫做与的等比中项,此时.
3.等比数列的通项公式及其变形
首项为,公比为的等比数列的通项公式是.
等比数列通项公式的变形:.
4.等比数列与指数函数的关系
等比数列的通项公式还可以改写为,当且时,是指数函数,是指数型函数,因此数列的图象是函数的图象上一些孤立的点.
当或时,是递增数列;
当或时,是递减数列;
当时,为常数列;
当时,为摆动数列,所有的奇数项(偶数项)同号,奇数项与偶数项异号.
二、等比数列的前n项和公式
首项为,公比为的等比数列的前项和的公式为
(1)当公比时,因为,所以是关于n的正比例函数,则数列的图象是正比例函数图象上的一群孤立的点.
(2)当公比时,等比数列的前项和公式是,即,设,则上式可写成的形式,则数列的图象是函数图象上的一群孤立的点.
由此可见,非常数列的等比数列的前n项和是一个关于n的指数型函数与一个常数的和,且指数型函数的系数与常数项互为相反数.
三、等比数列及其前n项和的性质
若数列是公比为的等比数列,前n项和为,则有如下性质:
(1)若,则;若,则.
推广:若,则.
(2)若成等差数列,则成等比数列.
(3)数列仍是公比为的等比数列;
数列是公比为的等比数列;
数列是公比为的等比数列;
若数列是公比为的等比数列,则数列是公比为的等比数列.
(4)成等比数列,公比为.
(5)连续相邻项的和(或积)构成公比为或的等比数列.
(6)当时,;当时,.
(7).
(8)若项数为,则,若项数为,则.
(9)当时,连续项的和(如)仍组成等比数列(公比为,).注意:这里连续m项的和均非零.
考向一 等比数列的判定与证明
等比数列的判定与证明常用的方法:
(1)定义法:为常数且数列是等比数列.
(2)等比中项法:数列是等比数列.
(3)通项公式法:数列是等比数列.
(4)前项和公式法:若数列的前项和,则该数列是等比数列.
其中前两种方法是证明等比数列的常用方法,而后两种方法一般用于选择题、填空题中.
注意:
(1)若要判定一个数列不是等比数列,则只需判定存在连续三项不成等比数列即可.
(2)只满足的数列未必是等比数列,要使其成为等比数列还需要.
典例1 已知数列满足.
(1)证明:是等比数列;
(2)求.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【名师点睛】本题考查了数列中递推公式的应用,通过构造数列证明等比数列,分项求和等知识点.形如(),在构造数列时,可在等式两边同时加上构成等比数列.
(1)利用递推公式可以得到的表达式,两个式子相减即可得到与的表达式;构造数列{},即可证明{}为等比数列.
(2)利用{}为等比数列,可求得{}的通项公式;将{}分为等比数列和等差数列两个部分分别求和,再相加即可得出奇数项的和.
1.数列的前项和为,已知.
(1)试写出;
(2)设,求证:数列是等比数列;
(3)求出数列的前项和及数列的通项公式.
考向二 等比数列的基本运算
等比数列基本量的计算是解等比数列题型时的基础方法,在高考中常有所体现,多以选择题或填空题的形式呈现,有时也会出现在解答题的第(1)问中,属基础题.
(1)等比数列的基本运算方法:
①等比数列由首项与公比确定,所有关于等比数列的计算和证明,都可围绕与进行.
②对于等比数列问题,一般给出两个条件,就可以通过解方程(组)求出与,对于五个基本量,如果再给出第三个条件就可以“知三求二”.
(2)基本量计算过程中涉及的数学思想方法:
①方程思想.等比数列的通项公式和前n项和公式联系着五个基本量,“知三求二”是一类最基本的运算,通过列方程(组)求出关键量和q,问题可迎刃而解.
②分类讨论思想.等比数列的前项和公式为,所以当公比未知或是代数式时,要对公比分和进行讨论.此处是常考易错点,一定要引起重视.
③整体思想.应用等比数列前n项和公式时,常把,当成整体求解.
典例2 已知是等比数列,且,,则等于
A. B.24
C. D.48
【答案】B
【解析】由题意知,则,
所以,故选B.
典例3 各项都是正数的等比数列中,,,成等差数列,则的值为
A. B.
C.
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