解密15 空间中的平行与垂直-备战高考数学（理）之高频考点解密含解析.docVIP

高考考点 命题分析 三年高考探源 考查频率 空间点、线、面位置关系的基本问题 空间点、线、面位置关系既是高考的必考点，也是考查的难点，其在高考中的命题形式较为稳定，以解答题的形式重点考查空间平行关系和垂直关系的证明 2016课标全国Ⅱ14 ★★★ 平行与垂直关系的证明 2017课标全国Ⅰ18 2016课标全国Ⅲ19 2015课标全国Ⅰ18 ★★★★★ 平面图形的翻折与存在性问题 2016课标全国Ⅱ19 ★★★ 考点1 空间点、线、面位置关系的基本问题 题组一 位置关系的判断 调研1 设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,给出下列四个命题: ①若m∥n,m⊥β,则n⊥β; ②若m∥α,m∥β,则α∥β; ③若m∥n,m∥β,则n∥β; ④若m⊥α,m⊥β则α⊥β. 其中真命题的个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】根据空间平行与垂直的判定和性质定理逐个对命题进行判断. ①显然正确; 对于②,由m∥α,m∥β,不一定得到α∥β,α和β的关系不确定; 对于③,n可能在平面β内,所以③不正确; 对于④,由m⊥α,m⊥β,可知α∥β,所以④不正确. 故选A． ☆技巧点拨☆ 空间中点、线、面的位置关系的判定方法： (1)可以从线、面的概念、定理出发，学会找特例、反例． (2)可以借助长方体，在理解空间点、线、面位置关系的基础上，抽象出空间线、面的位置关系的定义． 题组二 位置关系的判断与其他知识相结合 调研2 已知l为平面α内的一条直线，α，β表示两个不同的平面，则“α⊥β ”是“l⊥β ”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若l为平面α内的一条直线且l⊥β，则α⊥β，反过来则不一定成立，所以“α⊥β”是“l⊥β”的必要不充分条件，故选B． 考点2 平行与垂直关系的证明 题组一 平行的判定及性质 调研1 如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,BC⊥AB,点M,N分别是线段A1C1,A1B的中点.设平面MNB1与平面BCC1B1的交线为l,求证:MN∥l. 【解析】可先证明MN∥平面BCC1B1,然后利用线面平行的性质定理即可得证. 方法一：如图,连接C1B,在中,点M,N分别为A1C1,A1B的中点, 所以MN∥C1B． 又MN?平面BCC1B1,C1B?平面BCC1B1, 所以MN∥平面BCC1B1. 又MN?平面MNB1,平面MNB1∩平面BCC1B1=l,所以MN∥l. 方法二：取A1B1的中点P,连接MP,NP,如图所示. 在中,点M,P分别为A1C1,A1B1的中点,所以MP∥C1B1. 又MP?平面BCC1B1,C1B1?平面BCC1B1,所以MP∥平面BCC1B1. 同理可证NP∥平面BCC1B1. 因为MP∩NP=P,MP?平面MNP,NP?平面MNP,所以平面MNP∥平面BCC1B1. 因为MN?平面MNP,所以MN∥平面BCC1B1. 又MN?平面MNB1,平面MNB1∩平面BCC1B1=l,所以MN∥l. 调研2 如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD//BC,AB=AD=AC (1)证明:MN// (2)求四面体N-BCM的体积. 【解析】(1)由已知得AM=23AD=2,取BP的中点T,连接AT,TN,由N 又AD//BC,即TN//AM,故四边形AMNT为平行四边形,于是MN//AT, 因为AT?平面PAB,MN?平面 (2)因为PA⊥平面ABCD,N为PC的中点,所以N到平面 取BC的中点E,连接AE, 由AB=AC 由AM//BC得M到BC的距离为5, 故, 所以四面体N-BCM的体积为. 题组二 垂直的判定及性质 调研3 如图,在四棱锥中,底面为正方形,平面底面,，点，分别是，的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）在棱上求作一点，使得，并说明理由. 【解析】（1）因为点，分别是，的中点，所以 因为四边形BCDE为正方形，所以 所以 因为平面，平面，所以平面 （2）因为平面底面，，所以平面 因为平面，所以 因为，点是的中点，所以 因为，平面，平面， 所以平面 （3）取中点，连接，，过点作，交于点. 则点即为所求作的点. 理由：因为，点是的中点，所以 因为平面底面，所以平面， 所以 因为，，所以平面 因为平面，所以 ☆技巧点拨☆ 空间平行与垂直关系的证明主要是转化思想的应用，如下图： 在解决平行(垂直)关系的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化；而应用性质定理时，其顺序则正好相反．在实际应用中，判定定理和性质定理一般要相互结合，灵活运用． 题组三 线面角与二面角 调研4