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高考考点
命题分析
三年高考探源
考查频率
空间点、线、面位置关系的基本问题
空间点、线、面位置关系既是高考的必考点,也是考查的难点,其在高考中的命题形式较为稳定,以解答题的形式重点考查空间平行关系和垂直关系的证明
2016课标全国Ⅰ11
★★★
平行与垂直关系的证明
2017课标全国Ⅰ6
2017课标全国Ⅲ19
2015课标全国Ⅰ18
★★★★★
平面图形的翻折与存在性问题
2016北京18
★★★
考点1 空间点、线、面位置关系的基本问题
题组一 位置关系的判断
调研1 设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,给出下列四个命题:
①若m∥n,m⊥β,则n⊥β; ②若m∥α,m∥β,则α∥β;
③若m∥n,m∥β,则n∥β; ④若m⊥α,m⊥β则α⊥β.
其中真命题的个数为
A.1 B.2
C.3 D.4
【答案】A
【解析】根据空间平行与垂直的判定和性质定理逐个对命题进行判断. ①显然正确;
对于②,由m∥α,m∥β,不一定得到α∥β,α和β的关系不确定;
对于③,n可能在平面β内,所以③不正确;
对于④,由m⊥α,m⊥β,可知α∥β,所以④不正确.
故选A.
☆技巧点拨☆
空间中点、线、面的位置关系的判定方法:
(1)可以从线、面的概念、定理出发,学会找特例、反例.
(2)可以借助长方体,在理解空间点、线、面位置关系的基础上,抽象出空间线、面的位置关系的定义.
题组二 位置关系的判断与其他知识相结合
调研2 已知l为平面α内的一条直线,α,β表示两个不同的平面,则“α⊥β ”是“l⊥β ”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若l为平面α内的一条直线且l⊥β,则α⊥β,反过来则不一定成立,所以“α⊥β”是“l⊥β”的必要不充分条件,故选B.
考点2 平行与垂直关系的证明
题组一 平行的判定及性质
调研1 如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,BC⊥AB,点M,N分别是线段A1C1,A1B的中点.设平面MNB1与平面BCC1B1的交线为l,求证:MN∥l.
【解析】可先证明MN∥平面BCC1B1,然后利用线面平行的性质定理即可得证.
方法一:如图,连接C1B,在中,点M,N分别为A1C1,A1B的中点, 所以MN∥C1B.
又MN?平面BCC1B1,C1B?平面BCC1B1,
所以MN∥平面BCC1B1.
又MN?平面MNB1,平面MNB1∩平面BCC1B1=l,所以MN∥l.
方法二:取A1B1的中点P,连接MP,NP,如图所示.
在中,点M,P分别为A1C1,A1B1的中点,所以MP∥C1B1.
又MP?平面BCC1B1,C1B1?平面BCC1B1,所以MP∥平面BCC1B1.
同理可证NP∥平面BCC1B1.
因为MP∩NP=P,MP?平面MNP,NP?平面MNP,所以平面MNP∥平面BCC1B1.
因为MN?平面MNP,所以MN∥平面BCC1B1.
又MN?平面MNB1,平面MNB1∩平面BCC1B1=l,所以MN∥l.
调研2 如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD//BC,AB=AD=AC
(1)证明:MN//
(2)求四面体N-BCM的体积.
【解析】(1)由已知得AM=23AD=2,取BP的中点T,连接AT,TN,由N
又AD//BC,即TN//AM,故四边形AMNT为平行四边形,于是MN//AT,
因为AT?平面PAB,MN?平面
(2)因为PA⊥平面ABCD,N为PC的中点,所以N到平面
取BC的中点E,连接AE,
由AB=AC
由AM//BC得M到BC的距离为5,
故,
所以四面体N-BCM的体积为.
题组二 垂直的判定及性质
调研3 如图,在四棱锥中,底面为正方形,平面底面,,点,分别是,的中点.
(1)求证:平面;
(2)求证:平面;
(3)在棱上求作一点,使得,并说明理由.
【解析】(1)因为点,分别是,的中点,所以
因为四边形BCDE为正方形,所以
所以
因为平面,平面,所以平面
(2)因为平面底面,,所以平面
因为平面,所以
因为,点是的中点,所以
因为,平面,平面,
所以平面
(3)取中点,连接,,过点作,交于点. 则点即为所求作的点.
理由:因为,点是的中点,所以
因为平面底面,所以平面,
所以
因为,,所以平面
因为平面,所以
☆技巧点拨☆
空间平行与垂直关系的证明主要是转化思想的应用,如下图:
在解决平行(垂直)关系的判定时,一般遵循从“低维”到“高维”的转化;而应用性质定理时,其顺序则正好相反.在实际应用中,判定定理和性质定理一般要相互结合,灵活运用.
题组三 线面角与二面角
调研4 如
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