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高考考点
命题分析
三年高考探源
考查频率
不等式的性质与一元二次不等式
选择题、填空题中的考查以简单的线性规划与不等式的性质为主,重点求目标函数的最值,有时也与其他知识交汇考查.
基本不等式求最值及应用在课标卷考试中是低频点,但基本不等式作为求最值的一种方法要牢记.
不等式的解法多与集合、函数、解析几何、导数相交汇考查.
2016课标全国Ⅰ1
2016课标全国Ⅰ8
★★★★
线性规划
2017课标全国Ⅱ5
2016课标全国Ⅰ16
★★★★
基本不等式
2017山东7
2015陕西9
★★
考点1 不等式的性质与一元二次不等式
题组一 不等式的性质
调研1 若eq \f(1,a)eq \f(1,b)0,则下列结论不正确的是
A.a2b2 B.abb2
C.a+b0 D.|a|+|b||a+b|
【答案】D
【解析】依题意得ba0,A,B,C正确,而|a|+|b|=-a-b=|a+b|,故D错误,选D.
☆技巧点拨☆
不等式的一些常用性质:
(1)有关倒数的性质
①ab,ab0?eq \f(1,a)eq \f(1,b).
②a0b?eq \f(1,a)eq \f(1,b).
③ab0,0cd?eq \f(a,c)eq \f(b,d).
④0axb或axb0?eq \f(1,b)eq \f(1,x)eq \f(1,a).
(2)有关分数的性质
若ab0,m0,则①eq \f(b,a)eq \f(b+m,a+m),eq \f(b,a)eq \f(b-m,a-m)(b-m0);②eq \f(a,b)eq \f(a+m,b+m),eq \f(a,b)eq \f(a-m,b-m)(b-m0).
题组二 一元二次不等式
调研2 已知函数的值域为[0,+∞),若关于x的不等式的解集为,则实数c的值为 .?
【答案】9
【解析】因为的值域为[0,+∞),所以Δ=0,即,所以的解集为,
易得m,m+6是方程的两根,由根与系数的关系,得,解得c=9.
调研3 若不等式(a2+4a-5)x2-4(a-1)x+30恒成立,则a的取值范围是 .?
【答案】[1,19)
【解析】①当a2+4a-5=0时,有a=-5或a=1.若a=-5,不等式可化为24x+30,不满足题意;若a=1,不等式可化为30,满足题意.
②当a2+4a-5≠0时,不等式恒成立,需满足,解得1a19.
综上,可得a的取值范围是1≤a19.
☆技巧点拨☆
1.一元二次不等式ax2+bx+c0(或0)(a≠0,Δ=b2-4ac0),如果a与ax2+bx+c同号,则其解集在两根之外;如果a与ax2+bx+c
2.解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是利用相关知识转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解.
3.解含参数不等式要正确分类讨论.
考点2 线性规划
题组一 线性目标函数的最值及范围问题
调研1 已知变量x,y满足约束条件,则的最大值为
A.0 B.
C.4 D.5
【答案】C
【解析】作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示,即为三角形OBC的边界及其内部,作直线y=-2x,平移直线y=-2x,当直线y=-2x+z经过点C时的截距最大,此时的z最大,
由得x=1,y=2,即C(1,2),代入z=2x+y得,故选C.
调研2 已知不等式组表示的平面区域为?(其中是变量).若目标函数的最小值为-6,则实数的值为
A. B.6
C.3 D.
【答案】C
【解析】作出不等式组对应的平面区域,如图中阴影部分所示,由得,则直线斜率,平移直线,由图象可知,当直线经过点时,直线的截距最小,此时最小,为-6,由,得,即,此时,解得,故选C.
☆技巧点拨☆
求解线性规划中含参数问题的基本方法有两种:一是把参数当成常数用,根据线性规划问题的求解方法求出最优解,代入目标函数确定最值,通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围;二是先分离含有参数的式子,通过观察确定含参的式子所满足的条件,确定最优解的位置,从而求出参数.
题组二 非线性目标函数的最值及范围问题
调研3 设x,y满足约束条件,则z=yx的最大值是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】作出已知不等式组所表示的平面区域,如图中阴影部分所示(三角形ABC及其内部),可得A(2,1),B(3,4),C(5,2).可看作区域内的点(x,y)与原点O连线的斜率,则=kOC≤z≤kOB=.可得z的最大值为.故选C.
☆技巧点拨☆
常见的非线性目标函数的几何意义
(1) 表示点(x,y)与原点(0,0)的距离;
(2) 表示点(x,y)与点(a,b)的距离;
(3) 表示点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率;
(4) 表示点(x,y)与点(a,b)连线的
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