届高考数学（文科，通用）二轮复习突破练 高考大题纵横练（一）含答案.docVIP

高考大题纵横练 高考大题纵横练(一) (推荐时间：80分钟) 1．(2014·湖南)如图，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝eq \r(7). (1)求cos∠CAD的值； (2)若cos∠BAD＝－eq \f(\r(7),14)，sin∠CBA＝eq \f(\r(21),6)，求BC的长． 解　(1)在△ADC中，由余弦定理， 得cos∠CAD＝eq \f(AC2＋AD2－CD2,2AC·AD)， 故由题设知，cos∠CAD＝eq \f(7＋1－4,2\r(7))＝eq \f(2\r(7),7). (2)设∠BAC＝α，则α＝∠BAD－∠CAD. 因为cos∠CAD＝eq \f(2\r(7),7)，cos∠BAD＝－eq \f(\r(7),14)， 所以sin∠CAD＝eq \r(1－cos2∠CAD) ＝ eq \r(1－?\f(2\r(7),7)?2)＝eq \f(\r(21),7)， sin∠BAD＝ eq \r(1－cos2∠BAD)＝ eq \r(1－?－\f(\r(7),14)?2)＝eq \f(3\r(21),14). 于是sin α＝sin(∠BAD－∠CAD) ＝sin∠BAD·cos∠CAD－cos∠BAD·sin∠CAD ＝eq \f(3\r(21),14)·eq \f(2\r(7),7)－(－eq \f(\r(7),14))·eq \f(\r(21),7)＝eq \f(\r(3),2). 在△ABC中，由正弦定理，得eq \f(BC,sin α)＝eq \f(AC,sin∠CBA). 故BC＝eq \f(AC·sin α,sin∠CBA)＝eq \f(\r(7)·\f(\r(3),2),\f(\r(21),6))＝3. 2．如图所示，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝6，BC＝4，AB＝2，点E，F分别在BC，AD上，EF∥AB.现将四边形ABEF沿EF折起，使平面ABEF⊥平面EFDC，设AD的中点为P. (1)当E为BC的中点时，求证：CP∥平面ABEF； (2)设BE＝x，问当x为何值时，三棱锥A－CDF的体积取最大值？并求出这个最大值． (1)证明　方法一　如图所示，取AF的中点Q，连接QE，QP，则QP綊eq \f(1,2)DF. 又DF＝4，EC＝2，且DF∥EC， 所以PQ綊EC， 即四边形PQEC为平行四边形， 所以CP∥QE，又QE?平面ABEF，CP?平面ABEF， 所以CP∥平面ABEF. 方法二　如图，取DF的中点M，连接PM，CM.在△ADF中，P，M分别为DA，DF的中点， 所以PM綊eq \f(1,2)AF. 又DF＝4，EC＝2，且DF∥EC， 所以FM綊EC，即四边形EFMC为平行四边形， 所以EF∥MC. 又PM∩MC＝M，AF∩EF＝F， 所以平面PMC∥平面ABEF. 又PC?平面PMC，所以CP∥平面ABEF. (2)解　因为平面ABEF⊥平面EFDC， 平面ABEF∩平面EFDC＝EF， 又AF⊥EF， 所以AF⊥平面EFDC，平面AFD⊥平面EFDC. 由已知BE＝x，所以AF＝x(0<x≤4)，FD＝6－x，点A到平面CDF的距离为x. 故VA－CDF＝eq \f(1,3)·eq \f(1,2)·2·(6－x)·x＝eq \f(1,3)(6x－x2) ＝eq \f(1,3)[－(x－3)2＋9]＝－eq \f(1,3)(x－3)2＋3. 所以当x＝3时，VA－CDF取最大值，最大值为3. 3．(2014·课标全国Ⅰ)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数． (1)证明：an＋2－an＝λ； (2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由． (1)证明　由题设知anan＋1＝λSn－1， an＋1an＋2＝λSn＋1－1， 两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1， 由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ. (2)解　由题设知a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1. 由(1)知，a3＝λ＋1. 令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4. 故an＋2－an＝4，由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3； {a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1. 所以an＝2n－1，an＋1－an＝2， 因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列． 4．从一批苹果中，随机抽取50个作为样本，其重量(单位：克)的频数分布表如下： 分组(重量) [80,85) [85,90) [90,95) [95,100) 频数(个) 5 10 20 15 (1)根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率； (2)用分层抽样的方法