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第2讲 统 计
[2019考向导航]
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考向预测
2019
2018
2017
1.抽样方法
第3题
统计这一讲的内容在江苏高考中以填空题的形式来考查,主要考查抽样方法、总体分布的估计、总体特征数的估计.对抽样方法、频率分布直方图的识图与运用和总体估计的考查是重点.
2.统计与数据处理
第5题
第3题
1.随机抽样
(1)简单随机抽样特点为从总体中逐个抽取,适用范围:总体中的个体数较少.
(2)系统抽样特点是将总体均分成几部分,按事先确定的规则在各部分中抽取,适用范围:总体中的个体数较多.
(3)分层抽样特点是将总体分成几层,分层进行抽取,适用范围:总体由差异明显的几部分组成.
2.常用的统计图表
(1)频率分布直方图
①小矩形的面积=组距×eq \f(频率,组距)=频率;
②各小矩形的面积之和等于1;
③小矩形的高=eq \f(频率,组距),所有小矩形的高的和为eq \f(1,组距).
(2)茎叶图
在样本数据较少时,用茎叶图表示数据的效果较好.
3.用样本的数字特征估计总体的数字特征
(1)众数、中位数、平均数
数字特征
样本数据
频率分布直方图
众数
出现次数最多的数据
取最高的小矩形底边中点的横坐标
中位数
将数据按大小依次排列,处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)
把频率分布直方图划分成左右两边面积相等的分界线与x轴交点的横坐标
平均数
样本数据的算术平均数
每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和
(2)方差:
s2=eq \f(1,n)[(x1-eq \o(x,\s\up6(-)))2+(x2-eq \o(x,\s\up6(-)))2+…+(xn-eq \o(x,\s\up6(-)))2].
标准差:
s=eq \r(\f(1,n)[(x1-\o(x,\s\up6(-)))2+(x2-\o(x,\s\up6(-)))2+…+(xn-\o(x,\s\up6(-)))2]).
抽样方法
[典型例题]
(1)(2019·南通市高三调研)为调查某高校学生对“一带一路”政策的了解情况,现采用分层抽样的方法抽取一个容量为500的样本,其中大一年级抽取200人,大二年级抽取100人.若其他年级共有学生3 000人,则该校学生总人数是________.
(2)(2019·江苏名校高三入学摸底)某班有学生45人,现将所有学生按1,2,3,…,45随机编号,并采用系统抽样的方法从中抽取5名学生参加学习情况问卷调查,已知抽取的学生的编号分别为3,a,21,b,39,则a+b=________.
【解析】 (1)设该校学生总人数为n,则eq \f(500-200-100,500)=eq \f(3 000,n),解得n=7 500.
(2)由系统抽样的知识得,抽取的5个编号依次为3,12,21,30,39,所以a+b=12+30=42.
【答案】 (1)7 500 (2)42
eq \a\vs4\al()
分层抽样
(1)要点:总体分层,按照比例,独立抽取;
(2)适合范围:总体可以分层,层与层之间有明显差异,而层内个体差异较小,每层中所抽取的个体数可按各层在总体中所占比例抽取.
系统抽样
(1)要点:个体编号,确定间隔,随机选一,等距抽取.
(2)当eq \f(N,n)(N为总体中个体数目,n为样本容量)不是整数时,先从总体中随机剔除一些个体;在每一个间隔中,采用简单随机抽样抽取第一个个体.
[对点训练]
1.一支田径队有男女运动员98人,其中男运动员有56人.按男女比例用分层抽样的方法,从全体运动员中抽出一个容量为28的样本,那么应抽取女运动员的人数是________.
[解析] 依题意,女运动员有98-56=42(人).设应抽取女运动员x人,根据分层抽样特点,得eq \f(x,42)=eq \f(28,98),解得x=12.
[答案] 12
2.某公路设计院有工程师6人,技术员12人,技工18人,要从这些人中抽取n个人参加市里召开的科学技术大会.如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取,不用剔除个体;如果参会人数增加1个,则在采用系统抽样时,需要在总体中先剔除1个个体,则n=________.
[解析] 总体容量为6+12+18=36.
当样本容量是n时,由题意知,系统抽样的间隔为eq \f(36,n),分层抽样的比例是eq \f(n,36),抽取的工程师人数为eq \f(n,36)×6=eq \f(n,6),技术员人数为eq \f(n,36)×12=eq \f(n,3),技工人数为eq \f(n,36)×18=eq \f(n,2),所以n应是6的倍数,36的约数,即n=6,12,18.
当样本容量为(n+1)时,总体容量是35人,系统抽样的间隔为eq \f(35,n+1),因为eq \f
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