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第3讲 平面向量
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1.平面向量的概念及线性运算
江苏高考对平面向量考查命题热点是:平面向量的几何意义、数量积、两向量平行与垂直.试题常以填空题形式出现,数量积是命题热点.平面向量常与三角函数、解析几何等知识相结合,以解答题形式呈现,难度中等.
2.平面向量的数量积
第12题
第13题
3.平面向量与其他知识点的综合运用
第12题
第16题
1.必记的概念与定理
(1)零向量模的大小为0,方向是任意的,它与任意非零向量都共线,记为0.
(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量,a的单位向量为eq \f(a,|a|).
(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量).
(4)如果直线l的斜率为k,则a=(1,k)是直线l的一个方向向量.
2.平面向量的两个重要定理
(1)向量共线定理:向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数λ,使b=λa.
(2)平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2,其中e1,e2是一组基底.
3.平面向量的数量积
已知两个非零向量a与b,则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积,记作a·b,即a·b=|a||b|cos θ,其中θ是a与b的夹角.向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°,a与b同向时,夹角θ=0°;a与b反向时,夹角θ=180°.
4.记住几个常用的公式与结论
(1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2).
(2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a-b=(x1-x2,y1-y2).
(3)设A(x1,y1),B(x2,y2),则eq \o(AB,\s\up6(→))=eq \o(OB,\s\up6(→))-eq \o(OA,\s\up6(→))=(x2-x1,y2-y1).
(4)设a=(x,y),λ∈R,则λa=(λx,λy).
(5)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.
(6)两向量a,b的夹角公式:cos θ=eq \f(x1x2+y1y2,\r(xeq \o\al(2,1)+yeq \o\al(2,1))·\r(xeq \o\al(2,2)+yeq \o\al(2,2)))(a=(x1,y1),b=(x2,y2)).
(7)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),且a≠0,
则a∥b?b=λa?x1y2-x2y1=0.
a⊥b(b≠0)?a·b=0?x1x2+y1y2=0.
5.需要关注的易错易混点
(1)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”,否则λ可能不存在,也可能有无数个.
(2)只要两个向量不共线,就可以作为平面的一组基底,对基底的选取不唯一,平面内任意向量a都可被这个平面的一组基底e1,e2线性表示,且在基底确定后,这样的表示是唯一的.
(3)要区分点的坐标与向量坐标的不同,尽管在形式上它们完全一样,但意义完全不同,向量坐标中既有方向的信息也有大小的信息.
(4)“a·b0”是“θ为锐角”的必要不充分条件, “a·b0”是“θ为钝角”的必要不充分条件.
平面向量的概念及线性运算
[典型例题]
(1)已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若ma+nb=(9,-8)(m,n∈R),则m-n的值为________.
(2)如图,在同一个平面内,向量eq \o(OA,\s\up6(→)),eq \o(OB,\s\up6(→)),eq \o(OC,\s\up6(→))的模分别为1,1,eq \r(2),eq \o(OA,\s\up6(→))与eq \o(OC,\s\up6(→))的夹角为α,且tan α=7,eq \o(OB,\s\up6(→))与eq \o(OC,\s\up6(→))的夹角为45°.若eq \o(OC,\s\up6(→))=meq \o(OA,\s\up6(→))+neq \o(OB,\s\up6(→))(m,n∈R),则m+n=________.
【解析】 (1)因为ma+nb=(2m+n,m-2n)=(9,-8),
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m+n=9,,m-2n=-8,))所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m=2,,n=5,))所以m-n=2-5=-3.
(2)法一:以O为坐标原点,OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系,则A(1,0),由tan α=7,α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2))),得sin α=eq \f(7,5\r(2)),cos α=eq \f(1,5\r(
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