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第5讲 推理与证明
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1.合情推理
近年江苏高考的“推理与证明”没有单独设题,主要和其他知识结合在一起,属于综合题,可以综合在诸如数列、函数、不等式等内容中,既有计算又有证明.
“合情推理”是一种重要的归纳,明年在客观题中考查的可能性较大.
2.演绎推理
第19题
第20题
第15题
必记的概念与定理
1.归纳推理:主要应用于先由已知条件归纳出一个结论,并加以证明或以推理作为题目的已知条件给出猜测的结论,并要求考生会应用或加以证明.
2.类比推理:通过两类事物的相似性或一致性,用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的结论.常见的有结论类比和方法类比.
3.演绎推理:演绎推理是从一般到个别的推理,推理的主要形式是三段论.三段论中包含三个判断:第一个判断称为大前提,它提供了一个一般的原理;第二个判断叫小前提,它指出了一个特殊情况;这两个判断联合起来,揭示了一般原理和特殊情况的内在联系,从而产生第三个判断——结论.
为了方便,在运用三段论推理时,常常采用省略大前提或小前提的表述方式.对于复杂的论证,总是采用一连串的三段论,把前一个三段论的结论作为下一个三段论的前提.
合情推理
[典型例题]
(1)(2019·湖北八校联考)观察下列等式:12=1,12-22=-3,12-22+32=6,12-22+32-42=-10,…,由以上等式推测出一个一般性的结论:对于n∈N*,12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=________.
(2)(2019·苏州五校联考)对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),给出定义:设f′(x)是函数y=f(x)的导数,f″(x)是f′(x)的导数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.某同学经过探究发现,任何一个三次函数都有“拐点”,任何一个三次函数的图象都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.设函数f(x)=eq \f(1,3)x3-eq \f(1,2)x2+3x-eq \f(5,12),请你根据这一发现,计算feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2 017)))+feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,2 017)))+feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2 017)))+…+feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2 016,2 017)))=________.
【解析】 (1)由于1=(-1)1+1eq \f(12+1,2),-3=(-1)2+1·eq \f(22+2,2),6=(-1)3+1eq \f(32+3,2),-10=(-1)4+1eq \f(42+4,2),
则12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1eq \f(n2+n,2).
(2)f′(x)=x2-x+3,由f″(x)=2x-1=0,得x=eq \f(1,2),则点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),1))为y=f(x)的图象的对称中心,
所以f(x)图象上任一点M(x,f(x))关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),1))的对称点N(1-x,2-f(x))也在f(x)图象上,即f(1-x)=2-f(x),所以f(x)+f(1-x)=2,
故feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2 017)))+feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2 016,2 017)))=feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,2 017)))+feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2 015,2 017)))=…=2,故feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2 017)))+feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,2 017)))+feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2 017)))+…+feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2 016,2 017)))=2 016.
【答案】 (1)(-1)n+1eq \f(n2+n,2) (2)2 016
eq \a\vs4\al()
归纳推理的一般步骤是:(1)通过观察个别事物发现某些相同的性质;(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题,并且在一般情
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