高等数学：第01章函数与极限.ppt

间断点 左右极限都存在的间断点为第一类间断点. 不是第一类间断点的任何间断点为第二类间断点. 注 返回 1.跳跃间断点 例5 解 2.可去间断点 例6 解 注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则可使其变为连续点. 如例6中, 跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点 3.第二类间断点 例7 解 例2 定理1 例如, 返回 一、 连续函数的和、差、积、商的连续性 二、反函数与复合函数的连续性 定理4 如果函数y=f(x)在区间Ix上单调增加(或单调减少) 且连续,那么它的反函数x=φ(y)也在对应的区间 Iy={y|y=f(x),x ∈Ix}上单调增加(或单调减少)且连续 例1 反三角函数在其定义域内皆连续. 定理4 例如, 三、初等函数的连续性 三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的. ★ ★ ★ (均在其定义域内连续 ) ★ 定理5 基本初等函数在定义域内是连续的. 定理6 一切初等函数在其定义区间内都是连续的. 1. 初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续; 注意　 2. 初等函数求极限的方法代入法. 例4 解 例5 解 第八节 闭区间上连续函数的性质 一、有界性与最大值最小值定理 二、零点定理与介值定理 三、一致连续性 返回 如果函数f(x)在开区间(a,b)内连续,在右端点b左连续, 在左端点a右连续,那么函数f(x)就是在闭区间[a,b] 上连续的 一、有界性与最大值最小值定理 定义 定理1(有界性与最大值最小值定理) 在闭区间上连续的函数有界且一定有最大值和最小值. 注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立. 返回 二、零点定理与介值定理 几何解释: 证 由零点定理, 推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值. 几何解释: 证 由零点定理, 返回 例1 极限存在准则 证 第五节 极限存在准则 两个重要极限 上两式同时成立, 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限 准则 I和准则 I'称为夹逼准则. 作为准则 的应用,下面证明一个重要的极限: (1) 证明 两个重要极限 例11 求 解 例12 求 解 原式 例13 求 解 2.单调有界准则 单调增加 单调数列 单调减少 几何解释: 图1-30 类似地, 可以证明, 例14 求 解 原式 柯西极限存在准则 证明 必要性 所以这条件是必要的. 充分性的证明请同学们自己证明 返回 例如, 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同. 观察各极限 不可比. 不存在. 第六节 无穷小的比较 定义: 例如， 证 必要性 充分性 例16 因为当 时, Arcsinx~x 定理２(等价无穷小代换定理) 证 所以当 时,有sinx=x+o(x),tanx=x+o(x), arcsinx=x+o(x), 例17 求 解 例18 求 解 返回 解 例19 求 第七节 函数的连续性与间断点 一、 函数的连续性 二、 函数的间断点 返回 一、函数的连续性 1.函数的增量 2.连续的定义 例1 证 由定义2知 3.单侧连续 定理 例2 解 右连续但不左连续 , 4.连续函数 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续. 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 二、函数的间断点 通过上面演示实验的观察: 问题: 如何用精确的数学数学语言刻划函数“无限接近”. 2、自变量趋于无穷大时函数的极限 定义2 设函数f(x)当|x|大于某一正数时有定义.如果存在常数A, 对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数X，使得当x满足不等式|x|>X时，对应的函数值f(x)都满足不等式 |f(x)－A|<ε, 那么常数A就叫做函数f(x)当x→∞时的极限，记作 或 注 1） 语言表述 当 时有 则 2.另两种情形: 如果函数f(x)当x→∞时极限为A，以任意给定一正数ε,作两条平行于x轴的直线y=A-ε和y=A+ε,则总存在一个正数X，使得当x<－X或x>X时，函数y=f(x)的图形位于这两条直线之间. 几何意义 例6 证明 因这个不等式相当于 或 由此可知,如果取 那么当 时, 不等式 成立,证毕. 直线 y=0是函数 的图形的水平渐近线. 证 要证 当