于品教授的数学分析讲义-Analysis123（清华丘班）.pdf

数学分析之 课程讲义 （丘成桐数学英才班试⽤） 起箸雍阉茂尽上章困敦凡⼆年 清华⼤学数学系及 丘成桐数学科学中⼼ 2020 年 12 ⽉27 ⽇ 1 前言之二 1 较之⼆零年六⽉的版本，讲义增加了数学分析第三学期的讲义 ，主要研究Schwartz 的分布 理论以及关于缓增分布的Fouirer 变换。分布理论是⼀门重要的分析语⾔，尽管这套对函数的描述 ⽅式是上个世纪40 年代才被引⼊的，但是掌握分布理论所需要的基础知识却并不多：线性代数和 多元微积分就⾜够了！本课程所研究的具体问题，⼤多来⾃于物理学，譬如引⼒理论、电磁学、热 传导理论等，在解决这些问题过程中，貌似抽象的分布语⾔只是提供了叙述上的便捷，实实在在的 仍然是微积分各种技术和想法。这是我们选择数学分析第三学期的内容的初衷：借此学习前两个 学期中漏掉的内容与技巧并巩固那些贯穿始终的思想。 课程所⽤到的主要参考书是我之前在 École Polytechnique 读书时所⽤的教材：Théories des distributions （由G. Lebeau 和 J.-Y.Chemin 编写）以及 J.-M. Bony 教授所撰写的课本 • Cours d’analyse: Théorie des distributions et analyse de Fourier. 以Laurent Schwartz 命名的数学中⼼占据了École Polytechnique 建筑群中不起眼的⼀⾓，我还依 稀记得⼀次 Bony 教授在那⾥叼着烟⽃提起这些教学的材料从 Schwartz 本⼈开始辗转经过多位数 学家教授最终成为Polytechnique 分析的标准教材。我们在课上还经常借鉴另⼀本法语的教材： • Éléments de distributions et d’équations aux dérivées partielles - Cours et problèmes résolus. Claude Zuily 2 ⽐如对Weyl 的特征值渐近公式的证明就是采取这本书的处理⽅法 。另外，这本教材有⼀系列精 ⼼挑选的习题，这对于讲课或者听课的⼈都是难得的财富。 学期结束，从教学效果上来说课程还是有很⼤⽋缺，特别是最后两周的课程内容可能略显多余 （介绍了波前集的概念，并对于线性变系数微分算⼦证明了微局部的椭圆正则性定理和微局部正则 性的传播定理）。如果可以再次教授这门课程，我想更好的选择可能是更为经典的话题，⽐如说继 续介绍波动⽅程有关的理论，或者研究调和函数作为课上对 Dirichlet 问题⼀部分内容的补充，或 者利⽤ Littlewood-Paley 理论来刻画已有的⼏种函数空间。当然，这都是将来的事情了。 2020 年 12 ⽉于静斋 1也增加了更多的打印错误 2我曾在 Patrick Gérard 教授的指导下以特征值的 Weyl 定律为主题做过⼀次课后的深⼊学习 (étude d’approfondissement) ，按照C. Zuily 在书中的讲法，他也受到了 Gérard 教授的影响。 2 前言之一 清华⼤学⽬前数学分析课程共分三个学期，每学期分三堂课分别由三位⽼师讲授。这份讲义 是其中⼀堂课的关于数学分析⼀和⼆课堂笔记，该课程是丘成桐数学英才班的实验课，与传统数学 分析教学相⽐，我们尝试在不动根本的前提下在内容与设计上探索新的可能。⽬前已公认数学分 析为数学系学⽣最重要的基础课之⼀，各类书⽬⽂献汗⽜充栋，其中不乏有颇具⼜碑同时又经得住 时间考验的优秀教材。这些教材在内容安排上⼤都以下⾯的内容为范本：数列极限，函数连续性， ⼀元函数导数，⼀元函数Riemann 积分，多元函数连续性，多元函数微分，多元函数Riemann 积 分理论。在这样的构架上，不同教材的作者会搭建各具特⾊的补充，⽐如