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一个n 元不等式的探究及其应用 山大附中 王永喜 我们先从一个经典问题谈起,在1972 年crux 上刊登了一个这样的问题: 问题1 : 设n  4,且x ,x ,x ,,x  0,求证: 1 2 3 n  2     x x x  4 x x x x x x x x 1 1 2 n 1 2 2 3 n1 n n 1 这个问题证明方法比较多,可以利用数学归纳法,但下面这个方法我觉得很 有意思： 比如我们先探究下最简单情形:即n=4 时,也就是只要证明  2   x x x x  4 x x x x x x x x 1 2 3 4 1 2 2 3 3 4 4 1 按照常规办法,这个只需要展开 2 2 2 2  x x x x 2x x 2x x 2x x 2x x 2x x 2x x  0 1 2 3 4 1 2 2 3 3 4 4 1 1 3 2 4  2  x x x x  0 1 2 3 4 等号当且仅当x1 x3 x2 x4 时成立. 虽然上面证明了n=4 情形,但是这个方法对于n=5 就失效了,所以我们应该从 另外角度出发思考,如果我们注意到一个熟悉的因式分解:再利用下均值立马得到 证明       2 4 x x x x x x x x 4 x x x x  x x x x 1 2 2 3 3 4 4 1 1 3 2 4 1 2 3 4 这个证明秒在分解变成乘积形式,且恰好把奇数项(下标)与偶数项分开,接着 均值不等式自然水到渠成了！按照这个思路我们可以对n=5,n=6 情形同样处理, 我们很容易得到一般的证明: (1) :n 是偶数时      由 4 x x x x x x  4 x x x x x x 1 2 2 3 n 1 1 3 n1 2 4 n  2  x x x 1 2 n (2) :n 是奇数时,不妨设 最小 x 1  