高中数学分册同步讲义（ 选择性必修三） 第6章 导数及其应用（教师版） .docx

导数及其应用

导数的概念及运算

1.导数的概念

(1)定义

如果函数y＝f(x)的自变量x在x0处有增量Δx，那么函数y相应地有增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，比值eq\f(Δy,Δx)就叫函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx之间的平均变化率，即eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx).如果当Δx→0时，eq\f(Δy,Δx)有极限，我们就说函数y＝f(x)在点x0处，并把这个极限叫做f(x)在点x0处的导数，记作或y′，即f′(x0)＝eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx).

(2)导函数

当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数).y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝eq\f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx).

(3)求函数y＝f(x)在点x0处导数的方法

①求函数的增量Δy＝；

②求平均变化率eq\f(Δy,Δx)＝；

③取极限，得导数f′(x0)＝eq\f(Δy,Δx).

2.导数的意义

(1)几何意义

函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率.也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是.相应的切线方程为.

(2)物理意义

函数S＝s(t)在点t0处的导数s′(t0),就是当物体的运动方程为S＝s(t)时，物体运动在t0时刻的瞬时速度v，即.设v＝v(t)是速度函数，则v′(t0)表示物体在t＝t0时刻的.

3.基本初等函数的导数公式

(1)c′＝(c为常数)，

(xα)′＝(α∈Q*)；

(2)(sinx)′＝______________，

(cosx)′＝；

(3)(lnx)′＝，

(logax)′＝；

(4)(ex)′＝，(ax)′＝.

4.导数运算法则

(1)[f(x)±g(x)]′＝.

(2)[f(x)g(x)]′＝；

当g(x)＝c(c为常数)时，即[cf(x)]′＝.

(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f（x）,g（x）)))′＝(g(x)≠0).

5.复合函数的导数

复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为.即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.

【答案】

1.(1)可导f′(x0)

(3)①f(x0＋Δx)－f(x0)②eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)

2.(1)f′(x0)y－y0＝f′(x0)(x－x0)

(2)v＝s′(t0)加速度

3.(1)0αxα－1(2)cosx－sinx(3)eq\f(1,x)eq\f(1,xlna)

(4)exaxlna

4.(1)f′(x)±g′(x)(2)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)cf′(x)

(3)eq\f(f′（x）g（x）－f（x）g′（x）,[g（x）]2)

5.yx′＝y′u·u′x

【基础自测】

1函数f(x)＝1的导函数是()

A．y＝0B．y＝1C．不存在D

2函数f(x)＝a3＋5a2x2的导数f′(x)＝(

A．3a2＋10ax2 B．3a2＋10ax2＋10

C．10a2x D

解：f′(x)＝10a2x.故选C.

3曲线y＝ex在点A(0，1)处的切线斜率为()

A．1 B．2 C．e D.eq\f(1,e)

解：y′＝ex，y′|x＝0＝1，故选A.

4曲线y＝x3－x＋3在点(1，3)处的切线方程为.

解：y′＝3x2－1，当x＝1时，y′＝2，此时切线斜率k＝2，故切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.故填2x－y＋1＝0.

5物体的运动方程是s＝－eq\f(1,3)t3＋2t2－5，则物体在t＝3时的瞬时速度为.

解：v(t)＝s′(t)＝－t2＋4t，t＝3时，v＝3，故填3.

【典例】

类型一导数的概念

例一(x)为可导函数，当x趋近于0