高中数学分册同步讲义（ 选择性必修一） 第2章 平面解析几何1直线与圆（学生版）.docx

平面解析几何--直线与圆

2.2.1直线的倾斜角与斜率

学习目标1.了解直线的斜率和倾斜角的概念.2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性.3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率.

知识点一直线的倾斜角

1.倾斜角的定义

(1)当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.

(2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.

2.直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α180°.

3.确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可.

知识点二直线的斜率

1.直线的斜率

把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α.

2.斜率与倾斜角的对应关系,在0°≤α180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记.

图示

倾斜角

(范围)

α＝0°

0°α90°

α＝90°

90°α180°

斜率

(范围)

k＝0

k0

不存在

k0

3.过两点的直线的斜率公式

过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).

倾斜角α

0°

30°

45°

60°

120°

135°

150°

斜率k

0

eq\f(\r(3),3)

1

eq\r(3)

－eq\r(3)

－1

－eq\f(\r(3),3)

1.任一直线都有倾斜角，都存在斜率.()

2.任何一条直线有且只有一个斜率和它对应.()

3.若直线的倾斜角为α，则0°≤α≤180°.()

4.一个倾斜角α不能确定一条直线.()

题型一直线的倾斜角

例1(1)已知直线l的倾斜角为θ－25°，则角θ的取值范围为()

A.25°≤θ155° B.－25°≤θ155°

C.0°≤θ180° D.25°≤θ205°.

(2)已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是()

A.0°≤α90° B.90°≤α180°

C.90°α180° D.0°α180°

跟踪训练1已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为________.

题型二直线的斜率

例2经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α.

(1)A(2,3)，B(4,5)；

(2)C(－2,3)，D(2，－1)；

(3)P(－3,1)，Q(－3,10).

跟踪训练2(1)若直线的倾斜角为60°，则直线的斜率为()

A.eq\r(3)B.－eq\r(3)C.eq\f(\r(3),3)D.－eq\f(\r(3),3)

(2)已知过A(3,1)，B(m，－2)的直线的斜率为1，则m的值为________.

题型三直线的斜率的应用

例3如果三点A(2,1)，B(－2，m)，C(6,8)在同一条直线上，求实数m的值.

跟踪训练3已知三点A(0,1)，B(1,3)，C(2,5)，求证：A，B，C三点共线.

数形结合法求倾斜角或斜率范围

典例直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，eq\r(3))为端点的线段有公共点，求直线l的斜率和倾斜角的取值范围.

1.对于下列说法：

①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α180°；

②若k是直线的斜率，则k∈R；

③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；

④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角.

其中正确说法的个数是()

A.1B.2C.3D.4

2.下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是()

A.(4,2)与(－4,1) B.(0,3)与(3,0)

C.(3，－1)与(2，－1) D.(－2,2)与(－2,5)

3.若经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m等于()

A.2B.1C.－1D.－2

4.若A(2,3)，B(3,2)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，m))三点共线，则实数m的值为________.

5.经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是________.(其中m≥1)

直线的斜率和倾斜角反映了直线的倾斜程度，二者紧密相连，如下表：

直线情况

平行于x轴

垂直于x轴

α的大小

0°

0°α90°

90°

90°α180°

k的范围

0

k0

不存在

k0

k的增

减情况

k随α的增大而增大

k随α的增大而增大

一、选择题

1.若直线过坐标平面内两点(1,2)，(4,2＋eq\r(3))，则此直线的倾斜角是()

A.30°B.45°C.60°D.90°

2.已知直线