高中数学分册同步讲义（ 选择性必修二） 第4章 概率与统计（教师版） .docx

概率与统计

离散型随机变量及其分布列

1．离散型随机变量的概念

(1)随机变量

如果随机试验的结果可以用一个随着试验结果变化而变化的变量来表示，那么这样的变量叫做____________，随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示．

(2)离散型随机变量

所有取值可以__________的随机变量，称为离散型随机变量．

2．离散型随机变量的分布列

(1)分布列

设离散型随机变量X可能取的值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称表

X

x1

x2

…

xi

…

xn

P

p1

p2

…

pi

…

pn

为随机变量X的______________，简称为X的分布列．有时为了简单起见，也可用P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n表示X的分布列．

(2)分布列的性质

①________________________；

②________________________．

3．常用的离散型随机变量的分布列

(1)两点分布(0－1分布)

随机变量X的分布列为(0p1)

X

1

0

P

p

则称X服从两点分布，并称p＝P(X＝1)为成功概率，两点分布也称0－1分布．

(2)二项分布

如果随机变量X的可能取值为0，1，2，…，n，且X取值的概率P(X＝k)＝__________(其中k＝0，1，2，…，n，q＝1－p)，其概率分布为

X

0

1

…

k

…

n

P

Ceq\o\al(0,n)p0qn

Ceq\o\al(1,n)p1qn－1

…

…

Ceq\o\al(n,n)pnq0

则称X服从二项分布，记为________________．

(3)超几何分布

在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1(,))(k＝0，1，2，…，m)，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*．此时称随机变量X的分布列为超几何分布列，称随机变量X服从______________．

【答案】

【基础自测】

1袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是()

A．5 B．9 C．10 D．25

解：号码之和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9种．故选B．

2已知下列四个变量：

①某机场候机楼中一天的旅客数量X1；

②某数学老师一节课向学生提问的次数X2；

③一天中长江的水位X3；

④某立交桥一天经过的车辆数X4．

其中不是离散型随机变量的是()

A．①中的X1 B．②中的X2

C．③中的X3 D．④中的X4

解：①②④中的随机变量可能取的值，我们都可以按一定次序一一列出，因此它们都是离散型随机变量；③中的X3可以取某一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，故X3不是离散型随机变量．故选C．

3已知离散型随机变量X的分布列为

X

1

2

3

P

eq\f(3,5)

eq\f(3,10)

eq\f(1,10)

则X的数学期望E(X)＝()

A．eq\f(3,2) B．2 C．eq\f(5,2) D．3

解：E(X)＝1×eq\f(3,5)＋2×eq\f(3,10)＋3×eq\f(1,10)＝eq\f(3,2)．故选A．

4设随机变量X的概率分布列为

X

1

2

3

4

P

eq\f(1,3)

m

eq\f(1,4)

eq\f(1,6)

则Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(X－3))＝1))＝________．

解：eq\f(1,3)＋m＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)＝1，解得m＝eq\f(1,4)，则P(eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(X－3))＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)＝eq\f(5,12)，故填eq\f(5,12)．

5设随机变量ξ满足P(ξ＝i)＝C·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(i)，i＝1，2，3，则C＝____________．

解：P＝Ceq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\