高中数学分册同步讲义（ 选择性必修三） 第5章 数列（教师版） .docx

数列

数列的概念及表示

1．数列的概念

(1)定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做)，排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项．所以，数列的一般形式可以写成，其中an是数列的第n项，叫做数列的通项．常把一般形式的数列简记作{an}．

(2)通项公式：如果数列{an}的与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．

(3)从函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})的函数，当自变量从小到大依次取值时所对应的一列________．

(4)数列的递推公式：如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项与它的前一项(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．

(5)数列的表示方法有、、

、.

2．数列的分类

(1)数列按项数是有限还是无限来分，分为、.

(2)按项的增减规律分为、、

和．递增数列?an＋1an；递减数列?an＋1an；常数列?an＋1an.递增数列与递减数列统称为．

3．数列前n项和Sn与an的关系

已知Sn，则an＝

4．常见数列的通项

(1)1，2，3，4，…的一个通项公式为an＝____________；

(2)2，4，6，8，…的一个通项公式为an＝____________；

(3)3，5，7，9，…的一个通项公式为an＝____________；

(4)2，4，8，16，…的一个通项公式为an＝____________；

(5)－1，1，－1，1，…的一个通项公式为an＝____________；

(6)1，0，1，0，…的一个通项公式为an＝____________；

(7)a，b，a，b，…的一个通项公式为an＝____________；

(8)9，99，999，…的一个通项公式为an＝.

注：据此，很易获得数列1，11，111，…；2，22，222，…；…；8，88，888，…的通项公式分别为eq\f(1,9)(10n－1)，eq\f(2,9)(10n－1)，…，eq\f(8,9)(10n－1)．

【答案】

1．(1)项首项a1，a2，a3，…，an，…

(2)第n项n(3)函数值(4)anan－1

(5)通项公式(解析法)列表法图象法递推公式

2．(1)有穷数列无穷数列

(2)递增数列递减数列 摆动数列

常数列＞＜＝单调数列

3．S1Sn－Sn－1

4．(1)n(2)2n(3)2n＋1(4)2n(5)(－1)n

(6)eq\f(1＋（－1）n－1,2)

(7)eq\f(（a＋b）＋（－1）n－1（a－b）,2)

(8)10n－1

【基础自测】

1数列－1，eq\f(4,3)，－eq\f(9,5)，eq\f(16,7)，…的一个通项公式是()

A．an＝(－1)neq\f(n（n＋1）,2n－1)

B．an＝(－1)neq\f(n2,2n－1)

C．an＝(－1)neq\f(n2,2n＋1)

D．an＝(－1)neq\f(n3－2n,2n－1)

解：－1＝－eq\f(1,1)，数列1，4，9，16，…对应通项n2，数列1，3，5，7，…对应通项2n－1，数列－1，1，－1，1，…对应通项(－1)n.故选B.

2下列有四个命题：

①数列是自变量为正整数的一类函数；

②数列eq\f(2,3)，eq\f(3,4)，eq\f(4,5)，eq\f(5,6)，…的通项公式是an＝eq\f(n,n＋1)；

③数列的图象是一群孤立的点；

④数列1，－1，1，－1，…与数列－1，1，－1，1，…是同一数列．

其中正确的个数是()

A．1 B．2 C．3 D．4

解：易知①③正确，②④不正确．故选B.

3若数列an＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)，则a5－a4＝()

A.eq\f(1,10) B．－eq\f(1,10) C.eq\f(1,90) D.eq\f(19,