新教材2023版高中数学第3章圆锥曲线与方程3.1椭圆3.1.1椭圆的标准方程学生用书湘教版选择性必修第一册.doc

3．1.1椭圆的标准方程

最新课程标准

(1)掌握椭圆的定义及其应用．

(2)掌握椭圆的标准方程．

新知初探·课前预习——突出基础性

教材要点

要点一椭圆的定义

平面上到两个定点F1，F2的________________________为常数(大于|F1F2|)?的点的轨迹叫作椭圆．这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫作椭圆的________．

用集合语言描述椭圆的定义：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，2a＞|F1F2|}．

要点二椭圆的标准方程

焦点在x轴上

焦点在y轴上?

标准方程

x2a2+y2

y2a2+x2

图形

焦点坐标

________________

__________________

a，b，c的关系

____________________________

批注?(1)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数>|F1F2|时，动点M的轨迹为椭圆；

(2)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数＝|F1F2|时，动点M的轨迹为以F1，F2为两端点的线段；

(3)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数<|F1F2|时，动点M的轨迹不存在．

批注?椭圆的焦点在x轴上?标准方程中含x2项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上?标准方程中含y2项的分母较大．因此由椭圆的标准方程判断椭圆的焦点位置时，要根据方程中分母的大小来判断，简记为“焦点位置看大小，焦点随着大的跑”．

基础自测

1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)椭圆的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都有a2＝b2＋c2.()

(2)平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的集合是椭圆．()

(3)方程x2a2+y2b2＝1(a

(4)设F1(－4，0)，F2(4，0)为定点，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则动点M的轨迹是椭圆．()

2．设P是椭圆x225+y216＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF

A．4B．5C．8D．10

3．椭圆x24＋y2＝1的焦点坐标是(

A．(0，±3)B．(±3，0)

C．(0，±5)D．(±5，0)

4．方程x2m+y2n＝1

A．m＞n＞0B．n＞m＞0

C．mn＞0D．mn＜0

5．已知椭圆的焦距是6，且椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是____________．

题型探究·课堂解透——强化创新性

题型1椭圆的定义的应用

例1已知△ABC的顶点B，C在椭圆x23＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是(

A．23B．6

C．43D．12

方法归纳

应用椭圆定义的两个技巧

巩固训练1已知F1，F2是椭圆C：x212+y23＝1的两个焦点，点P在椭圆上，PF1·PF2

A．3B．6

C．23D．215

题型2椭圆方程的判断

例2(多选)已知曲线C：mx2＋ny2＝1()

A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上

B．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在x轴上

C．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为n

D．若m＝0，n＞0，则C是两条直线

方法归纳

用分类讨论的数学思想，结合直线、圆、椭圆的特征，逐一验证．

巩固训练2[2022湖南嘉禾一中测试]已知方程x2m-2+y24-m

A．(3，4)B．(2，3)

C．(2，3)∪

题型3求椭圆的标准方程

例3求满足下列条件的椭圆的标准方程．

(1)两焦点的坐标分别是(－4，0)，(4，0)，且椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和等于10；

(2)经过P1(6，1)，P2(－3，－2)两点；

(3)以椭圆9x2＋5y2＝45的焦点为焦点，且经过点M(2，6)．

方法归纳

1．利用待定系数法求椭圆的标准方程

(1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求a，b，c的等量关系；(4)求a，b的值，代入所设方程．

2．当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m>0，n>0)．因为它包括焦点在x轴上(m<n)或焦点在y轴上(m>n)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而简化了运算．

巩固训练3(1)已知焦点在x轴上的椭圆，焦距为8，且2a＝10，则该椭圆的标准方程是()

A．x225

B．y225

C．x2100

D．x2100+y236

(2)已知椭圆的焦点为F1(－2，0)，F2(2，0)，且经过(52，－32)，则椭圆的方程为

题型4椭圆中的焦点三角形问题(数学探究)

例4已知点P是椭圆y25+x24＝1上的一点，F1，F2分别是椭圆的两个焦点，且