中考数学几何模型重点突破讲练：专题29 三角形的内切圆模型（教师版）.docxVIP

专题29三角形的内切圆模型

【模型】如图29-1，已知⊙O为的内切圆。

（1）OA、OB、OC分别平分；

（2）点O到AB，BC，AC的距离相等，均为⊙O的半径。

【例1】如图，在中，其周长为20，⊙I是的内切圆，其半径为，则的外接圆半径为（）

A．7 B． C． D．

【答案】D

【分析】过C作CD⊥AB于D，由结合面积求出BC的长，由内心可以求出，的外接圆圆心为O,F是优弧BC上任意一点，过O作OE⊥BC于E，求出圆心角，最后由垂径定理求出半径OB

【解析】过C作CD⊥AB于D，的外接圆圆心为O,F是优弧BC上任意一点，过O作OE⊥BC于E，设，

∵，

∴，

∵在周长为20，内切圆半径为，

∴，

∴

∴

中，

∴

∵在周长为20，

∴

∴

解得

∵是的内心

∴BI、CI分别平分∠ABC、∠ACB

∴

∵

∴

∴

∵°

∴

∴

∵OE⊥BC

∴,

∴

故选D

【例2】如图，中，，则的内切圆半径为_________．

【答案】4

【分析】先作AD⊥BC于点D，利用勾股定理求AD，再求三角形ABC的面积，利用内心与三顶点连线将三角形分成三个三角形，利用内切圆的半径求三个三角形面积，利用面积构造r的等式，求出即可．

【解析】过A作AD⊥BC于点D，设BD=x，CD=14-x，

∴AD2=AB2-BD2=AC2-CD2，

∴132-x2=152-(14-x)2，

解得：x=5，

AD=，

S△ABC==84，

设的内切圆半径为r，连结AI，BI，CI，

则，

S△ABC＝=，

∴，

∴21r=84，

∴r=4，

故答案为：4．

【例3】如图，AB=AC，CD⊥AB于点D，点O是∠BAC的平分线上一点，⊙O与AB相切于点M，与CD相切于点N．

（1）求证：∠AOC=135°；

（2）若NC=3，BC=，求DM的长．

【答案】（1）见解析；（2）DM=1．

【分析】(1)只要证明OC平分∠ACD，即可解决问题；

(2)由切线长定理可知：AM=AE，DM=DN，CN=CE=3，设DM=DN=x，在Rt△BDC中，根据，构建方程即可解决问题．

【解析】（1）证明：连接OM，ON，过O点做OE⊥AC，交AC于E，如图所示，

∵⊙O与AB相切于点M，与CD相切于点N

∴OM⊥AB，ON⊥CD，

∵OA平分∠BAC，OE⊥AC，OM⊥AB，

∴OM=OE，

即：E为⊙O的切点；

∴OE=ON，

又∵OE⊥AC，ON⊥CD，

∴OC平分∠ACD，

∵CD⊥AB，

∴∠ADC=90°，

∴∠DAC+∠ACD=90°，

∴∠OAC+∠OCA=45°，

∴∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）=180°-45°=135°，

即：∠AOC=135°，

（2）由（1）得，AM=AE，DM=DN，CN=CE=3，设DM=DN=x，

∵AB=AC，

∴BD=AB-AD=AC-AE-DM=CE=DM=3-x，

∵CD=3+x，

在Rt?BCD中，由勾股定理得：，

即：，

解得：x=1或x=-1（舍去），

即DM=1．

一、单选题

1．若的外接圆半径为R，内切圆半径为，则其内切圆的面积与的面积比为（???）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】画好符合题意的图形，由切线长定理可得：结合勾股定理可得：再求解直角三角形的面积，从而可得直角三角形的内切圆的面积与直角三角形的面积之比．

【解析】解：如图，由题意得：

，

由切线长定理可得：

设

，

，

而

故选B．

2．如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是上一点，则∠EPF的度数是（??）

A．65° B．60° C．58° D．50°

【答案】B

【分析】连接OE，OF．求出∠EOF的度数即可解决问题．

【解析】解：如图，连接OE，OF．

∵⊙O是△ABC的内切圆，E，F是切点，

∴OE⊥AB，OF⊥BC，

∴∠OEB=∠OFB=90°，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠B=60°，

∴∠EOF=120°，

∴∠EPF=∠EOF=60°，

故选：B．

3．如图，已知矩形的周长为，和分别为和的内切圆，连接，，，，，若，则的长为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设AB=x，BC=y，内切圆半径为r，由矩形的对称性知，结合直角三角形内切圆半径与三角形面积间的关系得到x、y、r的关系式，再由推导出x、y、r的关系，从而分别求出r，xy、的值，最后由勾股定理求得EF值.

【解析】如图，设AB=x，BC=y，内切圆半径为r，则AC=

∵矩形的周长为，

∴x+y=8①

∵和分别为和的内切圆，

∴②

由矩形的对称性知，

∵，

∴，

∴，

即③

由①、②、③联立方程组，解得：

r=1，xy=14，，

作EH⊥FH于H，由勾股定理得：

=36