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专题27切线模型
【模型1】双切线模型
已知如图27-1,点为⊙外一点,、是⊙的切线,切点分别为、,根据切线的性质,可证明≌,,垂直平分。
【模型2】割线定理
如图27-2,已知在⊙中,弦、相交于点,点在⊙外。
【证明】如图27-5,连接、,
,
∽
【模型3】切割线定理
如图27-3,已知在⊙中,弦的延长线交⊙的切线于。
【证明】如图27-4,连接、,
为⊙的弦切角,
又
∽
【例1】如图,点P为⊙O外一点,过点P作⊙O的切线PA、PB,记切点为A、B,点C为⊙O上一点,连接AC、BC.若∠ACB=62°,则∠APB等于()
A.68° B.64° C.58° D.56°
【例2】已知:如图,、是⊙的割线,,,.则=______.
【例3】如图,是⊙O的直径,射线交⊙O于点,是劣弧上一点,且平分,过点作于点,延长和的延长线交于点.
(1)证明:是⊙O的切线;
(2)若,,求⊙O的半径.
一、单选题
1.如图,AB是⊙O的直径,点M在BA的延长线上,MA=AO,MD与⊙O相切于点D,BC⊥AB交MD的延长线于点C,若⊙O的半径为2,则BC的长是()
A.4 B. C. D.3
2.如图,、分别切于点、,点为优弧上一点,若,则的度数为(??)
A. B. C. D.
3.如图,⊙O的半径为,BD是⊙O的切线,D为切点,过圆上一点C作BD的垂线,垂足为B,BC=3,点A是优弧CD的中点,则sin∠A的值是()
A. B. C. D.
二、填空题
4.如图,PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点,点C为⊙O上一点,连接AC、BC,若∠P=50°,则∠ACB的度数为____________
5.如图,已知AB是的直径,点P在BA的延长线上,PD与相切于点D,过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C.若的半径为3,,则PA的长为______.
6.如图,PA,PB是的切线,A,B为切点.若,则的大小为______.
7.如图,PA,PB是⊙O的切线,A,B是切点.若∠P=45°,则∠AOB=_____°.
8.如图,PA、PB分别切⊙O于点A,B,点E是⊙O上一点,且,则的度数为______.
9.如图,PA,PB分别切⊙O于点A,B,Q是优弧上一点,若∠P=40°,则∠Q的度数是________.
三、解答题
10.如图,⊙O与△ABC的边BC相切于点D,与AB、AC的延长线分别相切于点E、F,连接OB,OC.
(1)若∠ABC=80°,∠ACB=40°,求∠BOC的度数.
(2)∠BOC与∠A有怎样的数量关系,并说明理由.
11.如图,已知P,PB分别与⊙O相切于点AB,∠APB=60°,C为⊙O上一点.
(1)如图②求∠ACB的度数;
(2)如图②AE为⊙O的直径,AB与BC相交于点D,若AB=AD,求∠BAC的度数.
12.如图,CD是⊙O的切线,切点为D,点C在直径AB的延长线上.
(1)求证:∠CAD=∠BDC;
(2)若tan∠BDC=,AC=3,求CD的长.
13.如图,在⊙O中,AB是⊙O的直径,点P在BA的延长线上,PD切⊙O于点C.,垂足为D,连接BC.
(1)求证:BC平分∠PBD;
(2)若,,求⊙O的半径.
14.如图,是⊙的直径,是⊙的切线,、是⊙的弦,且,垂足为E,连接并延长,交于点P.
(1)求证:;
(2)若⊙的半径,求线段的长.
15.如图,为⊙的直径,过圆上一点作⊙的切线交的延长线与点,过点作交于点,连接.
(1)直线与⊙相切吗?并说明理由;
(2)若,,求的长.
16.如图,P为⊙O外一点,PA、PB为⊙O的切线,切点分别为A、B,直线PO交⊙O于点D、E,交AB于点C.
(1)求证:∠ADE=∠PAE.
(2)若∠ADE=30°,求证:AE=PE.
(3)若PE=4,CD=6,求CE的长.
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