专题10 垂径定理及其推论压轴题四种模型全攻略（解析版）.docx

专题10垂径定理及其推论压轴题四种模型全攻略

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目录

TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1

【考点一利用垂径定理求值】 1

【考点二利用垂径定理求平行弦问题】 4

【考点三垂径定理的实际应用】 7

【考点四垂径定理的推论】 9

【过关检测】 12

【典型例题】

【考点一利用垂径定理求值】

例题：（2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）如图，是的直径，弦，垂足为，连接，若，，则弦的长为．

????????

【答案】

【分析】由题意易得，根据勾股定理可求的长，然后问题可求解．

【详解】解：连接，

??

∵是的直径，，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴,

故答案为．

【点睛】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．

【变式训练】

1．（2023秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）已知的半径为，弦的长为，则圆心到的距离为．

【答案】

【分析】过点作于点H，由垂径定理得到，在中，利用勾股定理即可得到圆心到的距离．

【详解】解：如图，的半径为，弦的长为，过点作于点H，

??

则，，

∴，

即圆心到的距离为，

故答案为：

【点睛】此题考查了垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理的内容是解题的关键．

2．（2023·浙江·九年级假期作业）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”转化为现在的数学语言就是：如图，是的直径，弦，垂足为E，寸，寸．则直径的长为寸．

????

【答案】26

【分析】连接构成直角三角形，先根据垂径定理，由得到点为的中点，由可求出的长，再设出圆的半径为，表示出，根据勾股定理建立关于的方程，求解方程可得的值，即为圆的直径．

【详解】解：连接，

????

，且寸，

寸，

设圆的半径的长为，则，

，

，

在中，根据勾股定理得：

，化简得：，

即，

（寸）．

故答案为：26．

【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形．

【考点二利用垂径定理求平行弦问题】

例题：（2023秋·天津和平·九年级校考期末）半径为5，弦，，，则与间的距离为（????）

A．1 B．7 C．1或7 D．3或4

【答案】C

【分析】过点作，为垂足，交与，连，，由，得到，根据垂径定理得，，再在中和在中分别利用勾股定理求出，，然后讨论：当圆点在、之间，与之间的距离；当圆点不在、之间，与之间的距离．

【详解】解：过点作，为垂足，交与，连，，如图，

，

，

，，

而，，

，，

在中，，；

在中，，；

当圆点在、之间，与之间的距离；

当圆点不在、之间，与之间的距离；

所以与之间的距离为7或1．

故选：C．

【点睛】本题考查了垂径定理，即垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理以及分类讨论的思想的运用．

【变式训练】

1．（2023·全国·九年级专题练习）在半径为10的中，弦，弦，且，则与之间的距离是．

【答案】2或14

【分析】由于弦与的具体位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：①弦与在圆心同侧；②弦与在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．

【详解】解：①当弦与在圆心同侧时，如图①，

??

过点O作，垂足为F，交于点E，连接，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴由勾股定理得：，，

∴；

②当弦与在圆心异侧时，如图，

??

过点O作于点E，反向延长交于点F，连接，

同理，，

，

所以与之间的距离是2或14．

故答案为：2或14．

【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．

2．（2023春·甘肃武威·九年级校联考阶段练习）的半径为13cm，AB、CD是的两条弦，，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离．

【答案】7cm或17cm．

【分析】分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．

【详解】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1

∵AB＝24cm，CD＝10cm，

∴AE＝12cm，CF＝5cm，

∵OA＝OC＝13cm，

∴EO＝5cm，OF＝12cm，

∴EF＝12?5＝7cm；

②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2，

∵AB＝24cm，CD＝10cm，

∴AE＝12cm，CF＝5cm，

∵OA＝OC＝13cm，

∴EO＝5cm，OF＝12cm，

∴EF＝OF＋OE＝17cm．

∴AB与CD之间的距离为7cm或17cm．

【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，正确作出辅助线、灵活运用定理是解题的关键，注意掌握数形结