专题2.13 对称图形——圆章末十大题型总结（培优篇）（苏科版）（解析版）.docx

专题2.13对称图形-圆章末十大题型总结（培优篇）

【苏科版】

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【题型1巧用圆的半径相等】 1

【题型2由点与圆的位置关系求求范围】 5

【题型3弧、弦、角、之间的关系】 11

【题型4垂径定理】 17

【题型5圆周角定理】 22

【题型6圆内接四边形】 28

【题型7直线与圆的位置关系】 35

【题型8切线长定理的运用】 39

【题型9弧长的计算】 45

【题型10扇形面积的计算】 49

【题型1巧用圆的半径相等】

【方法点拨】解决此类问题的关键是连接半径，抓住圆的半径相等是关键.

【例1】（2023秋·广东汕头·九年级统考期末）如图，AB是⊙O的弦，OD为⊙O半径．OC⊥AB，垂足为C，OD∥AB，OD=2OC，则∠ODB为（????）度

A．60 B．65 C．70 D．75

【答案】D

【分析】连接OB，则OB=OD，由OC⊥AB，则∠OBC=30°，再由OD∥

【详解】解：如图：连接OB，则OB=OD，

∵OC=1

∴OC=1

∵OC⊥AB，

∴∠OBC=30°，

∵OD∥

∴∠BOD=∠OBC=30°，

∴∠OBD=∠ODB=75°，

故选D．

【点睛】本题考查了圆，平行线的性质，等腰三角形的有关知识；正确作出辅助线、利用圆的半径相等是解题的关键．

【变式1-1】（2023秋·河北唐山·九年级统考期中）如图，半圆O的直径AB=10，将半圆O绕点B顺时针旋转45°得到半圆O，与AB交于点P，那么AP=（????

A．2.5 B．5 C．10-52 D．

【答案】C

【分析】先根据题意判断出△OPB是等腰直角三角形，由勾股定理求出PB

【详解】解：如下图，连接O

由题意得：∠OBA

∵O

∴∠O

∴△O

∴PB=2

∴AP=AB-BP=10-52

故选：C．

【点睛】本题考查了圆的性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是根据旋转的性质求出△O

【变式1-2】（2023秋·河北唐山·九年级唐山市第十二中学校考期末）如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE=OB，∠AOC=84°，则∠E等于（）

A．42° B．28° C．21° D．20°

【答案】B

【分析】连接OD，易得OD=BE，利用三角形外角的性质得到∠ODC=2∠E，∠AOC=∠ODC+∠E，进行求解即可；

【详解】解：连接OD，则：OD=OB=OC，

∴∠OCD=∠ODC，

∵DE=OB，

∴OD=DE，

∴∠DOE=∠E，

∴∠ODC=∠DOE+∠E=2∠E，

∴∠OCD=2∠E，

∴∠AOC=∠OCD+∠E=3∠E，

∴∠E=1

故选B．

【点睛】本题考查圆的认识，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质．熟练掌握圆内半径均相等，得到等腰三角形，是解题的关键．

【变式1-3】（2023秋·天津南开·九年级南开翔宇学校校考期末）如图，⊙O的半径为2，AB为圆上一动弦，以AB为边作正方形ABCD，求OD的最大值．

【答案】2

【分析】把AO绕点A顺时针旋转90°得到AO，得到△AOO是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出OO，再根据正方形的性质可得AB=AD，再求出∠BAO=∠DAO，然后利用“边角边

【详解】如图，连接AO、BO、把AO绕点A顺时针旋转90°得到AO

∴△AOO

∵AO=2，

∴OO

在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，

∵∠BAO+∠BAO

∴∠BAO=∠DAO

在△ABO和△ADO

AO=AO

∴△ABO≌△ADO

∴DO

∴OO

当O、O、D三点共线时，取“=”

此时，OD的最大值为22

故答案为：22

【点睛】本题考查了圆的基本性质、全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，利用旋转作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．

【题型2由点与圆的位置关系求求范围】

【方法点拨】解决此类问题关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；

当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．

【例2】（2011秋·江苏泰州·九年级统考期中）直角坐标系中，已知点A(1,0)，⊙A的半径是5，若点D(-2,a)在⊙A外，则a的范围是()

A．a4 B．a4或a-4 C．a-4 D．-4a4

【答案】B

【分析】根据两点间的距离公式与点D在⊙A外得到关于a的不等式，解不等式即可求得结论．

【详解】解：两点间的距离公式为d=(

由题意得DA5，则DA=(-2-1)

即9+a

∴a

∴a4或a-4，

故选B．

【点睛】本题主要考查了两点间的距离公式，点与圆的位置关系，掌握点与圆的位置与半径的关