专题2.11 圆的常用辅助线及作法四大题型（苏科版）（解析版）.docx

专题2.11圆的常用辅助线及作法四大题型

【苏科版】

考卷信息：

本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生圆的常用辅助线及作法四大题型的理解！

【题型1有弦，作弦心距】

1．（2023·湖南岳阳·统考一模）如图，在⊙O中，已知AB是直径，P为AB上一点(P不与A、B两点重合），弦MN过P点，∠NPB=45°．

（1）若AP=2，BP=6，则MN的长为；

（2）当P点在AB上运动时（保持∠NPB=45°不变），则PM2

??

【答案】214

【分析】（1）作OH⊥MN于H，连接ON，如图所示，得到HN=MH，由AP=2，BP=6，得到圆的半径长，由ΔPOH是等腰直角三角形，得到OH的长，由勾股定理求出NH的长，即可得到MN

（2）由PM=MH-PH=NH-OH，PM=NH+PH=NH+OH，得到PM2+PN2

【详解】解：（1）作OH⊥MN于H，连接ON，如图所示：

??

∴HN=MH，

∵AP=2，BP=6，

∴AB=AP+PB=8，

∴ON=4，PO=OA-AP=4-2=2，

∵∠NPB=45°，

∴△POH是等腰直角三角形，

∴OH=2

∴NH=O

∴MN=2NH=214

故答案为：214

（2）由（1）知MH=NH，OH=PH，

∴PM=MH-PH=NH-OH，PM=NH+PH=NH+OH，

∴PM

∵OH

∴PM

∵BA

∴PM

故答案为：12

【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，完全平方公式，关键是作辅助线构造直角三角形，应用垂径定理，勾股定理来解决问题．

2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，⊙O的半径为2，将劣弧AC（虚线）沿弦AC折叠后交弦BC于点D，连接AD．若∠ACB=60°，则线段AD的长为．

??

【答案】2

【分析】取折叠后的弧所在圆圆心为O，则⊙O与⊙O设等圆，∠ACD是公共的圆周角，所以可以证得AB=AD，设⊙O的半径为R，过O作OG⊥AB于G，可得∠OAB=∠OBA=30°，AB=2AG，即OG=1，根据勾股定理可得

【详解】设折叠后的AC所在圆的圆心为O，连接O

∴∠A

连接OA，OB

??

同理，∠AOB=120°

∴∠AOB=∠A

∵⊙O与⊙O

∴AB=AD

设⊙O的半径为R

过O作OG⊥AB于G

∵OA=OB，∠AOB=120°

∴∠OAB=∠OBA=30°，AB=2AG

∴OG=

∴AG=

∴AB=2AG=2

故答案为：23

【点睛】本题考查了圆中的折叠变换，垂径定理等，注意等圆中的公共角，公共弦，公共弧，这些都是相等的，利用这些等量关系，是解决此类题的突破口．

3．（2023春·北京海淀·九年级校考开学考试）如图，DE为半圆的直径，O为圆心，DE=62，延长DE到A，使得EA=2，直线AC与半圆交于B，C两点，且

??

(1)求弦BC的长；

(2)求△AOC的面积．

【答案】(1)2

(2)8+2

【分析】（1）过点O作OM⊥BC于M，根据垂径定理得BM=CM，由∠DAC=45°得到OM=AM，则OA=OM2+AM

（2）由（1）可知：CM=2，OM=AM=4，则AC=AM+CM=4+

【详解】（1）解：过点O作OM⊥BC于M，如图，则BM=CM，

??

∵直径DE=62，EA=

∴OC=OD=OE=32，OA=OE+AE=4

∵∠DAC=45°，则∠AOM=45°

∴OM=AM，则OA=O

∴OM=4，

在Rt△COM中，OC=3

∴CM=O

∴BC=2CM=22

（2）由（1）可知：CM=2，OM=AM=4

∴AC=AM+CM=4+2

∴S△AOC

【点睛】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质，熟练掌握相关性质是解决问题的关键．

4．（2023春·天津和平·九年级天津市双菱中学校考开学考试）如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，5为半径作⊙O分别与∠EPF的两边相交于A、B和C、D，连接OA，且OA∥PE．

??

(1)求AP的长：

(2)若弦AB=8，求OP的长．

【答案】(1)AP=5；

(2)3

【分析】（1）根据PG平分∠EPF得到∠EPG=∠FPG，根据OA∥PE得到∠POA=∠FPG，即可得到∠POA=∠APO，即可得到答案；

（2）过O作OH⊥AB，根据垂径定理得到AH，结合勾股定理即可得到OH，即可得到答案；

【详解】（1）解：∵PG平分∠EPF，

∴∠EPG=∠FPG，

∵OA∥PE，

∴∠POA=∠FPG，

∴∠POA=∠APO，

∴PA=OA，

∵⊙O的半径为5，

∴AP=5；

（2）解：过O作OH⊥AB，

∵OH⊥AB，AB