专题16 圆中的计算与证明经典综合大题专训（六大题型）（原卷版）.docx

专题16圆中的计算与证明经典综合大题专训（六大题型）

【题型目录】

题型一圆的对称性相关的综合大题

题型二确定圆的条件相关的综合大题

题型三圆周角的综合大题

题型四直线与圆的位置关系相关的综合大题

题型五正多边形与圆相关的综合大题

题型六弧长及扇形面积综合大题

【经典例题一圆的对称性相关的综合大题】

1．（2023·统考二模）如图，在正方形中，点E为边上一个动点，作点B关于的对称点，连接并延长，交延长线于点F，连接，．

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(1)求证：．

(2)求的度数．

(3)若，在点E的运动过程中，求点F到距离的最大值．

2．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图1，是的弦，点C在外，连接、分别交于D、E，

(1)求证：．

(2)如图2，过圆心O作，交于P、Q两点，交、于M、N两点，求证：．

(3)如图3，在（2）的条件下，连接、，，若，，求弦的长．

3．（2023·陕西西安·校考二模）【问题提出】

（1）如图①，在等腰直角中，，为等边三角形，，则线段BD的长为___________；

【问题解决】

（2）如图②，在等腰直角中，，以AC为直径作半圆O，点D为上一动点，求点B、D之间的最大距离；

【问题探究】

（3）一次手工制作课程中，老师要求小明和小丽组制作一种特殊的部件，部件的要求如图③，部件是由直角以及弓形BDC组成，其中，点E为BC的中点，，这时候小明和小丽在讨论这个部件，其中小丽说点A到的最大距离是点A、D之间的距离，小明说不对，你认为谁的说法正确？请说明理由，并求出点A到的最大距离．

4．（2023·黑龙江齐齐哈尔·校考三模）【问题思考】如图1，点E是正方形内的一点，过点E的直线，以为边向右侧作正方形，连接，直线与直线交于点P，

则，通过这两个三角形全等可得线段与之间的关系为．

【问题类比】

如图2、3，当点E是正方形外的一点时，【问题思考】中的结论（填成立或不成立），若成立，请选择图2证明你的结论；若不成立，请选择图3说明理由；

【拓展延伸】

（1）若点E是边长为2的正方形所在平面内一动点，【问题思考】中其他条件不变，则的取值范围是（直接写出结果）．

（2）若点E是边长为2的正方形所在平面内一动点，【问题思考】中其他条件不变，则动点P到边的最大距离为（直接写出结果）．

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5．（2022秋·江苏南京·九年级南京市科利华中学校考期中）在学习《2.1圆》时，小明遇到了这样一个问题：如图1（1）、1（2）所示，和中，．试证明、、、四点在同一圆上．

小明想到了如下证法：在图1（1）、1（2）中取中点，连接、．则有及，即，所以、、、四点在以为圆心，为半径的圆上．

根据以上探究问题得出的结论，解决下列问题：

(1)如图2，在中，三条高、、相交于点，连接０、，若，则______________°．

(2)如图3，已知是的直径，是的弦，为的中点，于，于（、不重合）．若，求证：．

6．（2023·北京·九年级专题练习）在平衡直角坐标系中，线段，点，在线段上，且，为的中点，如果任取一点，将点绕点顺时针旋转得到点，则称点为点关于线段的“旋平点”．

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(1)如图1，已知，，，知果为点关于线段的“旋平点”，画出示意图，写出的取值范围；

(2)如图，的半径为，点，在上，点，如果在直线上存在点关于线段的“旋平点”，求的取值范围．

【经典例题二确定圆的条件相关的综合大题】

1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）尺规作图蕴含丰富的推理，还体现逆向思维，请尝试用无刻度的直尺和圆规完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．

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(1)【圆的作图】点P是中边上的一点，在图1中作，使它与的两边相切，点P是其中一个切点；

(2)点P是中边上的一点，在图2中作，使它满足以下条件：

①圆心O在上；②经过点P；③与边相切；

(3)【不可及点的作图】如图3，从墙边上引两条不平行的射线（交点在墙的另一侧，画不到），作这两条射线所形成角的平分线．

2．（2023·陕西·模拟预测）新定义：如图1（图2，图3），在中，把边绕点A顺时针旋转，把边绕点A逆时针旋转，得到，若，我们称是的“旋补三角形”，的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．

【特例感知】

(1)①若是等边三角形（如图2），，则______________．

②若（如图3），，_____________．

【猜想论证】

(2)在图1中，当是任意三角形时，猜想与的数量关系，并证明你的猜想；（提示：过点作且，连接，则四边形是平行四边形）

【拓展应用】

(3)如图4，点A，B，C，D都在半径为5的圆P上，且与不平行，，是的“旋补三角形”，点P是“旋补中心”，求BC的长．

3．（2022秋·河北廊坊·九年级廊坊市第四中学校考期中）如图，，，直线经过点．设，于点