参考学习 中学课件13 第一节 重积分的概念与性质.ppt

练习： 1. 估计下列积分之值 其中 2. 比较 的大小, 解 1. 估计下列积分之值 在D上f(x,y)的最大值 最小值 解 解: 积分域 D 的边界为圆周 它与 x 轴交于点 (1,0), 从而 而域D 位于直线的上方, 故在 D 上 其中 2. 比较下列积分的大小: * * * 第七章 重 积 分 一元函数积分学 多元函数积分学 重积分 曲线积分 曲面积分 第一节 重积分的概念与性质 一、问题的提出 二、二重积分的定义及可积性 三、二重积分的性质 四、利用对称性计算二重积分 五、三重积分的定义 一、问题的提出 1．曲顶柱体的体积 设有一立体,它以xoy面上的闭区域D为底, 以D的边界曲线为准线, 母线平行z轴的柱面为侧面, 以曲面z = f(x,y) (f(x,y)?0 ,f(x,y)连续)为顶, 这种立体叫做曲顶柱体. 柱体体积=底面积×高 特点：平顶. 柱体体积=? 特点：曲顶. 求曲顶柱体体积仍采用 “分割、近似、求和、取极限” 的方法. 解法: 类似定积分解决问题的思想: 曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体: 底： xoy 面上的闭区域 D 顶: 连续曲面 z = f (x , y) ?0, 侧面：以D的边界为准线,母线平行于z 轴的柱面 求其体积V. “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 1)“大化小” 用任意曲线网分D为n个区域 以它们为底分为 n 个小曲顶柱体 2)“常代变” 在每个??i中任取一点(?i, ?i), 3)“近似和” 则 4)“取极限” 令 2. 平面薄片的质量 有一个平面薄片,在 xoy 平面上占有区域 D ,其面密度为?(x,y)?C(D), 计算该薄片的质量 M . 设D 的面积为? , 则 若?(x,y)非常数, 仍可用 “大化小,常代变,近似和,求极限”解决. 1)“大化小” 用任意曲线网分D为 n 个小区域 相应把薄片也分为小区域 . 2)“常代变” 在每个??i中任取一点(?i, ?i), 3)“近似和” 4)“取极限” 则第 k 小块的质量 两个问题的共性： (1) 解决问题的步骤相同 (2) 所求量的结构式相同 “大化小, 常代变, 近似和,取极限” 曲顶柱体体积: 平面薄片的质量: 二、二重积分的定义及可积性 将区域 D 任意分成 n 个小区域 ??i (i=1,2,???,n), 在每个??i中任取一点(?i, ?i), 若存在一个常数 I,使 则称f (x , y)可积, 称 I 为 f (x , y)在D上的二重积分. 积分和 积分域 被积函数 积分表达式 面积元素 记作 定义 设 f (x , y)是定义在有界闭区域 D上的有界函数, x , y 称为积分变量 对二重积分定义的说明： (1) 的值与闭区域的划分及点的选取无关. (2) 是一个数值,与积分变量用什么字母表示无关, 其值只与被积函数和积分区域有关. 两个引例结论： 1、以z = f(x,y)为高的曲顶柱体体积: 2、面密度为? ?x, y?的平面薄片质量: 在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D， 故二重积分可写为 D 则面积元素为 d? = dx dy 二重积分的两个结论： (1) 二重积分的存在性：设 f (x,y) 在闭区域D上连续, 则它在D上的二重积分一定存在. (也称 f (x,y) 在区域D上可积.) (2) 若 f (x,y) 在区域D上可积, 则 f (x,y) 在D上有界. 利用二重积分计算空间立体体积关键是找出： 1. 曲顶柱体的顶 —— 被积函数 2. 底 ——积分区域 D 则所求体积为 二重积分的几何意义: 当被积函数大于零时, 二重积分是曲顶柱体的体积． 当被积函数小于零时, 二重积分是曲顶柱体体积的负值． 设f (x,y)、 g(x,y) 在xoy平面有界闭区域D上可积. （与定积分有类似的性质） 三、二重积分的性质 性质1 (线性性质) 性质2 (对区域具有可加性) 性质3 若 ? 为D的面积, 性质4 (1) 若在D上有 f (x, y) ? 0 , 则 性质5 (绝对可积性) (2) 单调性 若在D上有 f (x, y) ? g (x, y) , 则有 性质6 (二重积分估值不等式) 设 M、m 分别为函数 f(x,y) 在闭区域D上的最大值和最小值, ? 为D的面积,则有: 性质7 (二重积分中值定理) 设函数 f(x,y) 在闭区域D上连续 , ? 为D的面积, 则在 D上至少存在一点 (?,?) 使得 证 由估值不等式可知, 由连续函数介值定