参考学习 中学课件13 第三节 向量的乘法运算.ppt

五、思考与练习 思考与练习解答 解 解 解 第三节 向量的乘法运算 一、向量的数量积 二、向量的向量积 三、向量的混合积 五、思考与练习 四、小结 一、两向量的数量积 沿与力夹角为? 的直线从点M1移动到点M2, 引例 设一物体在常力 F 作用下, 位移为 s , 则力F 所做的功为 1. 定义设向量 、 夹角为?， 为向量 与 的数量积 则称数量 记为 , 即 . (点积、内积). 注意： 中的“.”不能省. 2. 数量积符合下列运算规律： (2) 交换律： (3) 分配律： (4) 若l为数： 若l、m为数： 3. 关于两向量垂直的说明： 证 正交 ( 或垂直 ), 定理 证 则 如图：设 例1 证明三角形余弦定理 4. 数量积的坐标表示 数量积的坐标表示式 4. 数量积的坐标表示 数量积的坐标表达式 两向量夹角余弦的坐标表达式 由此可知 解 例3 解 例4 解 证 写法二 二、向量的向量积 二、向量的向量积 1. 定义 它的模为： 向量积也称为“叉积”、“外积”. 引例中的力矩 思考 右图三角形面积 S＝__________ 2. 关于向量积的说明： 证 (2) 分配律： (3) 若 l为数： 3. 向量积符合下列运算律： 4. 向量积的坐标表示 向量积的坐标表达式 向量积还可用三阶行列式表示: 5. 向量积的几何意义 1) 表示以 和 为邻边的平行四边形的面积. 2) 与一切既平行于 又平行于 的平面相垂直. 例1 解 (1) (2) D ABC的面积为 例1 解 (3) 解 例2 解 三、向量的混合积1.定义 即 其底面积 高 故平行六面体体积为 几何意义：混合积的绝对值表示以向量 为棱的平行六面体体积. 2. 混合积的坐标表示 设 混合积的坐标表达式 3. 性质 (2) 轮换对称性 (可用三阶行列式推出) (1) 三个非零向量 共面 üT 解 例1 例2 问四点 A (1 , 1 , 1 ) , B (4 , 5 , 6 ) , C (2 , 3 , 3 ) , D (10 , 15 , 17 ) 是否共面 ? 解 ? 点 A, B, C, D 共面. 例3 求以不在同一平面上的四点 Ak (x k , y k , z k ) (k=1,2,3,4)为顶点的四面体的体积. 已知四面体的体积等于以向量 为棱的平行六面体体积的 解 四、小结 设 2、向量的向量积 (结果是一个向量) 1、向量的数量积 (结果是一个数) 3、向量的混合积 (结果是一个数量) 设 4、数量积几何应用要点： (1) 求向量的模： (2) 求两向量的夹角： (3) 求一个向量在另一个向量上的投影： 5、向量积几何应用要点： (2) 求以向量 为邻边的平行四边形的面积： (1) 求与两个非共线向量 同时垂直的向量 ： 6、混合积几何应用要点： (2) 以 为相邻棱的平行六面体的体积： (3) 以不共面四点 A, B, C, D 为顶点的四面体体积：