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2021 考研数学大纲解析之线性代数命题点 一年一度的考研数学大纲如期而至，你做好准备了吗?考研大纲 的出炉代表着考研已经进入到全面复习阶段。但是同学们对考研的命 题思路有所了解吗?知道侧重于哪些章节出题，出什么样的类型题吗? 下面一起根据考研大纲来分析下线性代数的命题思路。 首先要明确现代的考题类型为 2 道选择、1 道填空和 2 道大题。 其次要明确向量空间是数一比数二数三多考的内容，那其他题目 在设置上有区别吗?答案是，有。这个区别要看当年数一的试卷中考 不考向量空间的题目，如果考，那三套试卷的题目不一样，如果不考， 则一样，而向量空间是低频考点，近 15 年只考了 5 道题，也就是说 这五年的不一样，其余 10 年考的题目都一样。所以，数三的难度在 向数一数二看齐，趋于同难度化。 下面分章节分析出题点： 第一章行列式在考研大纲中的考试内容为：行列式的概念和基本 性质、行列式按行(列)展开定理，考试要求为：了解行列式的概念， 掌握行列式的性质、会应用行列式的性质和行列式按行(列)展开定理 计算行列式。 行列式是线性代数学科的基础和运算工具，是出小题的点，数值 型和抽象型计算行列式都有可能，考频中等。但不要忽视行列式，它 可以是大题的一个步骤，比如通过计算方程组系数矩阵的行列式来分 第 1 页 共 4 页 析参数不同取值下方程组解的情况。所以行列式是基础。 第二章矩阵考试内容为：矩阵的概念、矩阵的线性运算、矩阵的 乘法、方阵的幂、方阵乘积的行列式、矩阵的转置、逆矩阵的概念和 性质、矩阵可逆的充分必要条件、伴随矩阵、矩阵的初等变换、初等 矩阵、矩阵的秩、矩阵的等价、分块矩阵及其运算。 矩阵也是基础部分，出小题的点，可能给出矩阵方程来求逆矩阵 或伴随矩阵，初等变换也是出选择题的点，要会求一个矩阵的逆矩阵， 掌握秩的概念并且会求一个矩阵的秩。着重掌握对称矩阵及正交矩阵 的性质。并且要掌握矩阵在解方程组和相似矩阵中的应用， 第三章向量考试内容：向量的概念、向量的线性组合与线性表示、 向量组的线性相关与线性无关、向量组的极大线性无关组、等价向量 组、向量组的秩、向量组的秩与矩阵的秩之间的关系、向量空间及其 相关概念(数一)、维向量空间的基变换和坐标变换(数一)、过渡矩阵 (数一)向量的内积、线性无关向量组的正交规范化方法、规范正交基、 正交矩阵及其性质。 从向量这一章开始出大题，向量单独出大题的概率很低，但它可 以和方程组结合出题。这一章重点掌握向量的线性表出、线性相关和 线性无关与向量组的秩、矩阵和行列式的关系，掌握证明向量组无关 的不同方法。 前三章本质上都是在为解决线性方程组服务，是解方程组的工 具，通过这一点也可以看出线性方程组才是线性代数这一学科的核 心，必考大题的章节，我们来继续往下分析。 第 2 页 共 4 页 第四章线性方程组考试内容：线性方程组的克拉默(Cramer)法 则、齐次线性方程组有非零解的充分必要条件、非齐次线性方程组有 解的充分必要条件、线性方程组解的性质和解的结构、齐次线性方程 组的基础解系和通解、解空间、非齐次线性方程组的通解。 线性方程组是线性代数的核心章节，近 15 年有 14 年都考了方程 组的一道大题，所以方程组是我们复习的重点。考题中不会只给出一 个其次或非齐次的方程去求解，这样有些太简单了。在考题中会设置 障碍来增加难度，比如系数矩阵中含有参数，比如给出一个方程组的 解，去求相关方程组的解，或者近几年将矩阵的问题转化成方程组去 解答等。对于同解和公共解掌握基本的题型和方法就好，考频低。 第五章矩阵的特征值和特征向量考试内容：矩阵的特征值和特征 向量的概念、性质，相似变换、相似矩阵的概念及性质、矩阵可相似 对角化的充分必要条件及相似对角矩阵、实对称矩阵的特征值、特征 向量及其相似对角矩阵。 这一章开始是第二个出大题的点，可能单独出题，也可能和二次 型结合出题。要会计算矩阵的特征值和特征向量，知道它们和方程组 和秩的关系，要会判定一个矩阵是否能相似对角化，如果能，要会求 对角矩阵和 P 矩阵。实对称矩阵可以用正交矩阵相似对角化，在求 Q 矩阵时先求出特征向量，再进行正交化和单位化。 第六章二次型考试内容：二次型及其矩阵表示、合同变换与合同 矩阵、二次型的秩