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hamilon系统的正则变换 传递保辛-难以保辛为中心的分析框架 辛是哈milt系统的特征。当给出哈milt函数时，将确定正态分布的局势向量。正则方程用于求解状态向量，每个两个时间点的状态向量之间的变换是上帝矩阵的结果。然而，hamilt函数通常单独提供，因此很难精确求解。因此，仅通过搜索相似的解和相似解进行排序。时间色散法通常使用有限差分法。冯康指出，差分格式应该是生存的，而差分格式应该是生存的。为了分析距离系统的解，扩散函数对称组不能用来分析相流。因为只有分散的状态向量流。 对于非线性系统的求解,以往一大批差分格式脱离了变分原理,而是根据微分算子而凭经验凑合的,五花八门而缺乏一般规则.有限元法则在变分原理的控制下生成单元而保持了保守体系的基本规则,故自动保辛.根据分析结构力学的理论,区段两端状态的传递关系就是辛矩阵.最小势能原理与正则变换辛矩阵的乘法合成是一致的.然而,通常有限元常对线性体系生成单元刚度阵;而非线性有限元就不能用常值刚度阵表示,其位移法有限元则可用单元变形能为两端位移的函数这一点来保辛.虽然保辛,却不是原来系统的解,因为引入了近似,故只能是近似系统的保辛.分析动力学用作用量是两端位移的函数来积分.相当于结构力学的区段变形能.虽然是动力学问题,但可按分析结构力学的思路求解计算. 数值积分要离散.首先明确离散后怎么检验保辛.其实很简单,只要看传递矩阵是否辛矩阵即可.传递辛矩阵即格点到格点状态向量之间的传递保辛.离散后就不是原系统了,只能是近似的离散系统,得到的解是离散点的状态.至于不是格点的时间点,则只能是插值得到的状态,谈不到是否保辛的问题. 微分方程的数学理论有李群、李代数等,是针对连续时间解的性质分析的,不可硬套给离散时间的近似系统.所以说,对于离散近似解不能按连续时间的相流(状态流)来分析.分析离散格点的近似解必须考虑这些特性,保辛只能用逐个传递矩阵是辛矩阵来表征.离散系统只能考虑离散的对称群. 保守系统的另一个重要性质是具有守恒量.一个保守系统近似解的数值实验应进行很长时间的积分,其积分近似是否满意可检验原问题的守恒量(数学称第一积分),如Hamilton函数等是否保守.如果不能达到基本为常数,则不能满意.能量是最重要的.事实上即使近似系统的解保辛,原系统的能量也可能不是常数,而且还可能漂移.国外杂志论文提出:差分格式,保辛与守恒难以同时达成;证明了:保辛则能量不能守恒;能量守恒就不能保辛的两难命题,,“鱼与熊掌不可得兼”.其证明是片面的,这个相互冲突的结论只适用于固定的有限差分格式. 事实上存在两全的算法,参变量保辛-守恒算法.保辛说的是近似解的传递保辛;守恒说的是近似解使原系统在格点处守恒.改换思路是要点.参变量方法已经在弹塑性接触等许多问题中得到成功应用.参变量保辛-守恒积分法运用的数学很普通.本文通过辛矩阵乘法的正则变换确保保辛,并通过引入参变量使能量守恒. 1 辛矩阵乘子的正则变换 正则变换可以通过生成函数和辛矩阵来表述.在数值计算的应用方面,辛矩阵表示的正则变换是有优点的,它可显式提供正则变换.动力学初值问题对时间是逐步积分的.以下将辛矩阵乘法的正则变换划分为时不变的变换与时变的变换,分别讲述之. 1.1 建立时不变正则变换 若时不变线性Hamilton系统的Hamilton函数为Ha(v),则其对偶方程为 ˙q=?Ηa/?p=Aq+Dp,˙p=-?Ηa/?q=-Bq-AΤp,q˙=?Ha/?p=Aq+Dp,p˙=??Ha/?q=?Bq?ATp, 或 ˙v=Ηav,Ηa=[AD-B-AΤ](1)v˙=Hav,Ha=[A?BD?AT](1) 从矩阵Ha可计算与时间无关的本征向量辛矩阵Ψa.求解方程可用本征向量展开法,表达为 v=Ψave或ve=Ψ-1a?1av=-JΨΤaTaJv(2) 因Ψa是与时间t无关的辛矩阵,故(2)给出了时不变的正则变换,且这个正则变换是线性的.如果对Hamilton方程(1)作上述正则变换,则本征向量辛矩阵展开可将方程正交化并解耦,便于求解. 因正则变换与Hamilton函数无关.设有在时间步内变化不大的Hamilton函数H(v,t).选择近似线性系统Ha(v)与原系统的Hamilton函数H(v,t)相差不大.Ha(v)对应的变换(2)都是正则变换.选择近似的线性系统就是为了得到其变换辛矩阵Ψa,即利用本征向量展开法进行正则变换.将v=Ψave代入H(v,t),导出的新Hamilton函数是He(ve,t)=H(Ψave,t),这样就得到新状态ve对应的Hamilton体系,而He(ve,t)就是变换后Hamilton函数. 例如对于时变的线性Hamilton系统H(v,t)=-vTJH(t)v/2,则变换后为 He(ve,t)=H(Ψave,t)=-vΤe