换元法在数学中地应用.docx

实用标准文案 精彩文档 精彩文档 换元法在数学中的应用案例 教学重难点： 教学目标： 高考地位： 一.基础训练： 1.函数 y＝2x＋ x ? 1 的值域是 。 2.已知 f (x ?1) ? x2 ? 5x ? 4 ，则 f (x) = 3.若 P(x, y) 满足 x 2 ? y 2 ? 25 ，则 x ? y 的最大值为 二．知识讲解 定义：换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法， 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使复杂问题得到简单化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元。 运用范围：它可以化高次为低次、化无理为有理、化超越式为代数式，在研究方程、不等 式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。 换元的方法主要有：.整体换元、均值换元、三角换元、局部换元 （1）.整体换元 例 1 分解因式： (a 2  ? 3a ? 2)(a 2  ? 3a ? 4) ? 16. 解：设 a 2 原式 ? 3a ? 2 ? m ，则 ? m(m ? 6) ? 16 ? m 2 ? 6m ? 16 ? (m ? 8)(m ? 2) ? (a 2 ? 3a ? 6)(a 2 ? 3a ? 4) ? (a 2 ? 3a ? 6)(a ? 4)(a ? 1). a 2 评注：此题还可以设 ? 3a ? m ，或a 2 ? 3a ? 4 ? m ，或a 2 ? 3a ? 1 ? m 。运用换元 法分解因式,是将原多项式中的某一部分巧用一个字母进行代换,从而使原多项式的结构简化, 进而便于分解因式. （2）.均值换元，如遇到x＋y＝S 形式时，设x＝ S ＋t，y＝ S －t 等等。结合三角形角的关系 2 2 与三角公式进行运算。我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后 要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩 ? 大。如上几例中的 t>0 和α∈[0, 2 ]。 ??2x ? 3 y ? 12, (1) ? 例题：解方程组 ?7 x ? 17 y ? 97.(2) 解：由①可设 2x ? 6 ? 6t ， 3y ? 6 ? 6t ，即 x ? 3 ? 3t ， y ? 2 ? 2t ，代入②，得 7(3 ? 3t) ? 17(2 ? 2t) ? 97. ∴ t ? 2 .∴ x ? 3 ? 3 ? 2 ? 9, y ? 2 ? 2 ? 2 ? ?2. ??x ? 9, ? ∴原方程组的解为 ? y ? ?2.  x ? 3 ? t y ? 2 ? t 说明：本题若按常规设法，可设 2x ? 6 ? t ， 3y ? 6 ? t ，此时 2 ， 3 ﹒由于出现了 分数，给运算带来麻烦，因此设 2x ? 6 ? 6t ， 3y ? 6 ? 6t ，此时 x ? 3 ? 3t ， y ? 2 ? 2t ，没有出现分类，使运算变得简捷. 换元的作用：①降次、②化分式方程为整式方程、③化繁为简。 注明：此方法略难，重点生可以研究普通生有兴趣的研究 （3）三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知 识中有某点联系进行换元。 x如求函数 y＝ ＋ x ? 1 ? x的值域时，易发现 x∈[0,1]，设 x＝sin 2 α ，α 1 ? x  ]，问题 变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量 x、y 适合条件 x 2 ＋y 2 ＝r 2 （r>0）时，则可作三角代换 x＝rcosθ 、y ＝rsinθ 化为三角问题。 例题：求函数 y＝3 x＋2－4 2－x的值域． ??x＋2≥0， 解：由? ??2－x≥0， 解得－2≤x≤2，所以函数的定义域为[－2,2]． 因为( x＋2)2＋( 2－x)2＝4， ?? 故可设? ?? x＋2＝2sin θ， 2－x＝2cos θ， (θ∈[0，π]) 2则 y ＝ 3×2sin θ － 4×2cos θ ＝ 6sin θ － 8cos θ ＝ 10sin (θ － 2 φ)( ?其中? ?? 0 ? ? cos? 3 sin?＝ 4 ? ． ? ? ， ?， ＝ ， ? ? ? 2 ? 5 5 ? 因为 θ∈??0，π??，所以 θ－φ∈??－φ，π－φ??. ? 2? ? 2 ? 精彩文档 精彩文档 实用标准文案 所以当 θ＝0 时，函数取得最小值 10sin(－φ)＝10×??－4?＝－8； ? 5?? 当 θ＝π时，函数取得最大值 10sin(π－φ)＝10cos φ＝10×3＝6. 2 2 5 综上，