人教A版高中数学选择性必修第一册1.2空间向量基本定理课件.ppt

* 1．2　空间向量基本定理 第一章 空间向量与立体几何 [课程目标] 1.了解空间向量基本定理及其意义. 2.掌握空间向量的正交分解. 3.掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为 基底表示其他向量的方法． 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝_______________． 其中{a，b，c}叫做空间的一个_________，a，b，c都叫做基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． xa＋yb＋zc 基底 (1)单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量 ____________，且长度都是_____，那么这个基底叫做单位正 交基底．常用{i，j，k}表示． (2)正交分解：把一个空间向量分解为三个______________的向 量，叫做把空间向量进行正交分解． [研读](1)只要是空间中三个不共线的向量都可以作为一组基底所以基底的选取不是唯一的； (2)零向量与任一向量都共线，因此零向量不能作为基底； (3)以{a，b，c}为基底表示向量p，实数组(x，y，z)是唯一的． 两两垂直 1 两两垂直 判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”) 不能构成空间的一个基底，则O，A， B，C四点共面．(　　) (2)若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量． (　　) (3)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一个基底． (　　) (4)已知{a，b，c}是空间的一个基底，则三个向量p＝a＋b，q＝ a－b，r＝a＋2c也可以构成基底．(　　) √ √ × √ 【解析】 (4)因为{a，b，c}是空间的一个基底，所以a，b，c都是非零向量且不共面，所以p，q，r是非零向量且不共面，可以构成基底． [规律方法] 基底判断的基本思路及方法 (1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构 成基底；若不共面，则能构成基底． (2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存 在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底． ②假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程 组，若有解，则a，b，c共面，不能作为基底；若无解，则 a，b，c不共面，能作为基底． 设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底给出下列向量组：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}．其中可以作为空间一个基底的向量组有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 C [规律方法] 基向量的选择和使用方法 (1)尽可能选择具有垂直关系的，从同一起点出发的三个向量作 为基底． (2)用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公 共点出发的，一般考虑加法，否则考虑减法；如果此向量与 一个易求的向量共线，可用数乘． D [规律方法] 基向量法解决长度、垂直及夹角问题的步骤 如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G，G1分别是棱CC1，BC，CD，A1B1的中点．求证： (1)AD1⊥G1G； (2)AD1∥EF. *