人教A版高中数学选择性必修第一册1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题课件.ppt

* 1．4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 第一章 空间向量与立体几何 1．4　空间向量的应用 [课程目标] 1. 会用向量法求线线、线面、面面的夹角以及距离问 题. 2. 正确区分向量夹角与所求线线角、面面角的关系． 判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等． (　　) (2)直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角的余角就是直线l与 平面α所成的角．(　　) (3)二面角α-l-β的大小为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则 θ＝〈n1，n2〉．(　　) (4)两平行平面α，β分别经过点O(0，0，0)和点A(2，1，1)，且两 平面的一个法向量n＝(－1，0，1)，则两平面间的距离是 (　　) × × × √ 例1如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正 三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面 BCD，AB＝2 .求点A到平面MBC的距离． 解：取CD的中点O，连接OB，OM， 则OB⊥CD，OM⊥CD，又平面MCD⊥平面BCD，所以MO⊥平面BCD. 以O为坐标原点，分别以直线OC，BO，OM为x轴、y轴、z轴建 [规律方法] 求点到平面的距离的四步骤 如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，AA′＝3，求点B到直线A′C的距离． 例2如图，在三棱柱OAB-O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1 ＝2，OA＝ ，求异面直线A1B与AO1所成角的余 弦值． [规律方法] 用坐标法求异面直线所成角的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系； (2)分别求出两条异面直线的方向向量的坐标； (3)利用向量的夹角公式计算两条直线的方向向量的夹角； (4)结合异面直线所成角的范围求出异面直线所成的角． 【解析】 因为AC＝BC＝2，D是AB的中点，所以 [规律方法] 用向量法求直线与平面的夹角可利用向量夹角公式或法向 量．利用法向量求直线与平面的夹角的基本步骤 (1)建立空间直角坐标系； 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AA1＝2，P，Q分别为A1B1，BC的中点． (1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值； (2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值． 例4如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形 (1)求证：O1O⊥底面ABCD； (2)若∠CBA＝60°，求平面C1OB1与平面BDD1B1 的夹角的余弦值． 解：(1)证明：因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形，所以CC1⊥AC，DD1⊥BD. 又CC1∥DD1∥OO1，所以OO1⊥AC，OO1⊥BD， 因为AC∩BD＝O，所以O1O⊥底面ABCD. *