《平面几何中的向量方法》示范课教学设计【高中数学人教】.docx

《平面几何中的向量方法》教学设计 （一）引入新课 问题1：你能从整体上叙述一下前面我们是如何研究向量的吗？ 答：前面我们先学习了平面向量的概念和运算，并通过平面向量基本定理，把向量的运算化归为实数的运算. 追问：我们在解决向量问题时，有哪些常用方法？ 答：可以考虑任意选取适合的基底来表示相关向量，通过向量运算求解；也可以通过建立坐标系，把向量的运算归为向量坐标的运算，使向量运算完全数量化. （二）课堂探究 问题2以前我们是如何研究平面几何的？ 答：研究平面几何常用的方法是综合法，它依据基本的逻辑原理，从公理、定理、性质等出发，通过演绎推理解决几何问题，综合法所给出的几何论证严谨且优雅. 追问：以前的方法在研究平面几何中最大的缺点是什么？ 答：综合法不同的问题通常缺乏统一的解法步骤，没有一般规律可循，具有较大的思维难度. 问题3 能否用向量来解决平面几何问题呢？为什么？ 答：向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此平面几何中的许多问题都可用向量运算的方法加以解决. 问题4 例1 如图1，DE是△ABC的中位线，用向量方法证明：DE//BC，DE=12BC. 追问1：我们要证明的结论可以转化为怎样的向量问题？解决这一向量问题的思路是怎样的？ 图1答：证明DE//BC，DE=12BC可以归结为证明DE=1 图1 可以把问题进行转化，选取{AB,AC}为基底，用AB,AC分别表示DE， 追问2：如何利用上述思路来完成证明？ 证明：如图2，因为DE是△ABC的中位线，所以 AD=12AB，AE= 图2从而DE 图2 又BC=AC- 于是DE//BC，DE=12BC. 追问3：你能利用向量坐标的方法进行证明吗？ 图3证明：建立以B为原点，BC为x轴如图 图3 设A（x1，y1）C（x2，0）. 因为DE是△ABC的中位线， 所以D（x12，y12），E（ 所以DE=（x22，0 所以DE= 于是DE//BC，DE=12BC. 追问4：你能梳理一下我们上面解决问题的思路吗？ 答：在用向量方法解决几何问题时，我们先用向量表示相应的点，线段等几何元素，然后通过向量的运算来研究这些元素之间的关系，最后再把运算结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论. 追问5：据此，能归纳出解决此类问题的一般步骤吗？ 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平画几何问题转化为向量问题， （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题 （3）把运算结果“翻译”成几何关系.（三）知识应用 问题5 例2 如图4，已知平行四边形ABCD，你能发现对角线AC和BD的长度与两条邻边AB和AD的长度之间的关系吗？ 追问1：我们如何通过向量来发现和解决这一问题？ 图4答： 图4 追问2：如何利用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”来表示和发现对角线AC和BD的长度与两条邻边AB和AD的长度之间的关系？ 第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题： 选取{AB,AD}为基底，设AB=a，AD=b 图5 图5 AC2= BD2= 上面两式相加，得AC2＋BD 第三步，把运算结果“翻译”成几何关系： AC2+BD2=2(AB2+AD2) 图6追问3： 图6 平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍. 追问4：如何用向量坐标的方法进行证明？ 解：建立以A为原点，AB为x轴如图6所示的平面直角坐标系. 设B(a,0) D(b,c) 则C（a+b，c） 那么 AB=（a,0）， AD=(b,c) ， AC=（a+b，c）， BD=（a-b，-c 可得 AB=a ，AD=b2+c2，AC=（ 可以发现 AB2+AD2=AB2+ AD2= a2+ b2+ 以及 AC2+BD2= AC2+ BD2=2（a2+ b2+ c 所以 AC2+BD2=2(AB2+AD2) （四）归纳总结 （1）用向量运算的方法解决平面几何问题有什么优点？你能总结出用向量运算解决平面几何的框图吗？ 答：用向量运算的方法可以形成统一的解法步骤，更有效的解决问题. 几何图形到向量恰当的向量运算 几何图形到向量 恰当的向量运算 向量到几何关系 （2）回顾上节课和本节课的内容，你能用思维导图梳理本单元前两小节的研究内容和方法吗？ 我们在解决平面几何问题时，可以任意选取适合的基底来表示相关向量，用向量运算求解；也可以通过建立坐标系，把向量的运算化为向量坐标的运算. 平面向量 平面向量的概念 平面向量的运算 平面向量基本定理及坐标表示 平面向量的应用 用向量方法解决平面几何