《平面向量的概念》示范课教学设计【高中数学人教】.docx

平面向量的概念 情境一 在历史上伽利略是最早对动力学作了定量研究的人。1589—1591年，他对物体的自由下落运动作了细致的观察，从实验和理论上否定了统治两千年的亚里士多德的落体运动观点（重物比轻物下落快），指出如忽略空气阻力，重量不同的物体在下落时同时落地，物体下落的速度和它的重量无关。伽利略对运动基本概念，包括速度、加速度等都作了详尽研究并给出了严格的数学表达式。尤其是加速度概念的提出，在力学史上是一个里程碑。有了加速度的概念，力学中的动力学部分才能建立在科学基础之上，而在伽利略之前，只有静力学部分有定量的描述。伽利略还对物体在斜面上的运动，抛射体的运动等做过实验和观察。在这些研究基础上他提出了加速度的概念及其数学表达式。 问题1：教材的章引言材料，和上面的阅读材料中，有哪些物理量概念？这些概念有没有共同的特征？物理中怎么统一称呼这样的量？数学上怎么处理？ 答：力，位移，速度，加速度。这些都是即有大小又有方向的量，物理中都称为矢量。数学中，把这样的量称为向量 向量的概念：即有大小，又有方向的量。 情境二 数量可以用实数表示，而实数与数轴上的点一一对应。所以数轴上不同的点可以表示不同的数量。 问题2：如何表示向量呢？ 答：向量由其大小和方向完全确定。 有向线段是向量的直观表示，用有向线段表示向量时，向量的方向与有向线段的指向有关，与起点的位置无关。向量的大小就是有向线段的长度（模）。有向线段即是带有方向的线段，所以还是线段，具有端点。起始位置叫起点，箭头位置叫终点。线段可以用两个大写字母或一个小写字母表示。有向线段带方向，由起点指向终点，所以可以用两个大写字母（先起点再终点）加上方水平箭头表示；也可以小写字母加箭头表示，印刷体用黑体小写字母表示。 追问：向量的大小怎么表示？ 答：向量（或a）的大小，一般记作 或 问题3：知道了向量的概念与表示，是否能发现一些特殊的向量？ 答：我们知道在实数中0和1很特殊，类比到向量，我们规定： 长度为0的向量叫做零向量，记作0 长度为1的向量叫做单位向量 注意：零向量的长度为0，几何表示退化成了可以出发到任意方向的点，所以零向量的方向是不确定的。 情境三 研究集合时，首先研究的是集合自身，再来研究集合间的关系。在数学中，这样的方式很常见。因为我们不仅要研究数学对象本身，还要研究数学对象之间内在的关系。 问题4：两个向量之间有哪些特殊关系？ 答：①平行（或共线），方向相同或相反的两个非零向量叫做平行向量，特别规定零向量与任意向量平行。向量a与b平行，记作a//b. ②相等，长度与方向都相等的向量叫做相等向量。向量a与b相等，记作a=b. ③相反，长度相等且方向相反的向量叫做相反向量。向量a与b互为相等相反向量，则a+b=0. 问题5：实数可以比较大小，向量可以么？ 答：不可以，实数是数量，数量可以比较大小，而向量有方向，向量不可以。但是向量的大小，也就是它的模长是数量，是可以比较大小的。 典例探究 【例1】下列说法中正确的个数是(? )①若a与b都是单位向量，则a=b；②方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量；③直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量；④若a与b是平行向量，则a=b；⑤若用有向线段表示的向量AM与AN不相等，则点M与N不重合； ⑦a//b，b// A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 分析：向量有两个基本要素，大小和方向。根据大小定义了零向量和单位向量，根据方向定义了平行（共线）向量，注意规定了零向量与任意向量平行。根据大小和方向，去定义了相等、相反向量。 解：①错误，a与b都是单位向量，模相等，但方向不一定相同，故a?,?b不一定相等? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?②正确；如图，方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量 ③错误，直角坐标平面上的x轴、y轴有方向，但没有大小；? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?④错误，a与b是平行向量，方向可能相反，模不一定相等，故a?,?b不一定相等；⑤正确，有向线段表示的向量AM与AN不相等，则点M与N不重合．⑥ ⑦错误，当b是零向量，a?,? 【例2】如图，点O是?ABCD的对角线的交点，且OA=a，OB=b，AB A. 与a相等的向量有：CO,QP,SRB. 与b相等的向量有：DO,PMC. 与c 分析：向量完全尤其大小和方向确定，与其起点位置无关。比如OA可以看成从起点O，指向向左3格，向上2格的终点A.向量是可以自由平移的,从任何起点位置, 指向向左3格，向上2格的终点位置的向量都与OA相等,都是a. 答案：D 【例3】如图是3×4的格点图(每个小方格都是单位正方形)，若起点和终点都在方格的顶点处，则与AB平行且模为