《复数的乘除运算》示范课教学设计【高中数学人教】.docx

《复数的乘除运算》教学设计 教学内容 复数的乘除运算 教学目标 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算． 2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律． （三）教学重点与难点 重点：复数代数形式的加、减、乘、除的运算法则及其运算律，复数加、减运算的几何意义． 难点：复数除法的运算法则． （四）教学过程设计 一．情境引入 我们知道，两个一次式相乘，有ax+ 设计意图：类比多项式的乘法运算，以及复数的加减法运算与多项式加法运算的关系，引导学生思考复数乘除法运算法则． 二．复数乘法的运算法则和运算律 问题1：类比多项式的乘法，我们该如何定义两复数的乘法呢？ 答案：我们规定 ，复数的乘法法则为：设z1=a+b 追问1：两个复数的积是个什么数？它的的值唯一确定吗？ 答案：通过观察，我们发现，两个复数的积仍是复数，它的值唯一确定． 追问2：当z1z2 答案：根据法则，我们发现，当b=d=0时， 追问3：复数的乘法类似于实数的哪种运算方法？ 答案：两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得结果中把i2换成-1，并且把实部与虚部分别合并即可 结论：两个复数的积仍然是一个复数，且唯一确定，运算中与实数的乘法法则保持一致，类似于两个多项式相乘． 设计意图：与实数多项式的乘法进行类比，有利于学生理解复数的乘法法则．同时培养学生类比的核心素养． 问题2 类比实数的运算律，你认为复数满足哪些运算律？请证明你的猜想． 答案：猜想：对于任意对于任意z1，z2， 交换律：z1 结合律：z1 分配律：z1 证明：设z1＝a1+ (1)∵z = z = 又a1a2 ∴z1 (2) z = = =a 同理可得： z =a ∴z1 (3) = = = = z = = = ∴z1 设计意图：引导学生根据复数的加法满足实数加法的运算律，大胆尝试推导复数乘法的运算律．培养学生的学习兴趣和勇于探索的精深． 例1：计算1-2i3+4i 解：1-2i = =-20+15i． 例2：计算：(1)2+3i2-3i； (2)1+i 分析：本例可以用复数的乘法法则计算，也可以用乘法公式计算． 解：(1) = =4- =13； (2)1+i =1+2 =2i 总结：按照复数的乘法法则，三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一致，在计算时，若符合乘法公式，则可直接运用公式计算． 追问1：若z1，z2是共轭复数，则 答案：若z1，z2是共轭复数，则z1 三．复数除法的运算法则和运算律 问题3：我们利用复数的减法是复数加法的逆运算，由复数的加法法则，推导出了复数的减法法则．同样，复数的除法是乘法的逆运算，尝试利用复数的乘法法则，去推导复数的除法法则． 答案：设a+bic+di 计算，得到cx+ 即cx-dy+ 由复数相等的定义，得cx-dy=a，cy+dx=b， 联立以上两个等式，将x和y作为未知量，a,b,c,d 作为常数，解这个二元一次方程组，解得x=ac+bdc 得到a+bi 以上，就是复数除法法则的探究过程． 复数除法的法则是：a+bi 由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数． 说明：在进行复数的除法运算时，通常先把a+bi÷c+di写成 a+b 这里分子分母都乘分母的“实数化因式”(共轭复数)，从而使分母“实数化”． 设计意图：通过将复数的除法转化成分式的除法，再类比实数中的分母有理化，对分母进行实数化，通过该化简的过程，帮助学生理解复数的除法法则．渗透类比和转化的数学思想方法，体会数学知识的紧密联系． 例3：计算1+2i÷ 分析：先将除法化成分式的形式，再进行分母实数化运算． 解：1+2i = =-5+10i 例4：在复数范围内解下列方程： (1)x2+2=0；(2)ax2+bx+c=0，其中a,b,c,d∈R 分析：利用复数的乘法容易得到(1)中方程的根．对于(2)，当?=b2-4ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0无实数根．利用求解一元二次方程的“根本大法”——配方法，类似于 解：(1)因为2i2=-2i (2)将方程ax2+bx+c=0 配方得：x+b 即x+b 由?<0，知-b2-4ac4a2= 所以原方程的根为x=-b 总结：在复数范围内，实系数一元二次方程ax 当?≥0时，x=-b± (2)当?<0时，x= 设计意图：在熟练应用复数的乘法除法运算法则之余，进行提升练习。让学生先独立思考，提高学生的建构能力及主动发现问题，探究问题的能力．分层教学，让不同能力水平的学生学有所得． 四．归纳总结 （1）复数代数形式的乘法法则： 两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得结果中把i2换成-1，并且把实部与虚部分别合并即可 （2）复数代数形式的除法法则： 在进行复数的除法运算