《复数的三角表示》示范课教学设计【高中数学人教】.docx

《复数的三角表示》教学设计 【教学重点】 复数的三角表示式． 【教学难点】 探究、理解复数的三角表示式． 【教学目标】 1.了解复数三角表示式的推导过程，了解复数的三角表示式． 2.了解复数的代数表示与三角表示之间的关系，会进行复数三角形式和代数形式之间的互化，了解两个用三角形式表示的复数相等的条件． 一．情境引入 前面我们已经学习了复数及其四则运算，本节我们来研究复数的另一种重要表示—复数的三角表示．复数的三角表示的形式是什么?它又有哪些作用?让我们一起来探究吧． 问题1：前面我们学习了复数的概念、复数的几何意义，请同学们回忆一下它们分别是什么． 答案：我们把形如a+bi(a，b∈R)的数叫做复数(complexnumber) 复数z=a+bi与复平面内的点Z(a，b)一一对应；复数z=a+bi与平面向量OZ=(a，b)一一对应． 追问1：你能在复平面内用平面向量表示z=a+bi吗？ 答案：设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，向量OZ由点Z唯一确定． 追问2：已知平面向量OZ=(a，b)，能唯一确定与之对应的复数z吗？复数z的表达式是什么？为什么？ 答案：由于复数z=a+bi与平面向量OZ=(a，b)一一对应，所以已知平面向量OZ=(a，b)能唯一确定与之对应的复数z，其表达式为z=a+bi．复数z可以由向量OZ的坐标(a，b)唯一确定． 设计意图：复数的几何意义是得出复数三角表示式的基础，温故知新，激活学生已有的知识储备，为本课时从复数的向量表示出发探究复数的三角表示奠定基础． 二．探究新知： 问题2：我们知道复数z=a+bi可以由向量OZ的坐标(a，b)唯一确定，向量OZ既可以由它的坐标(a，b)唯一确定，也可以由它的大小和方向唯一确定，观察分析右图，能否借助向量的大小和方向这两个要素来表示复数呢？要如何表示？ 追问1：为了解决问题2，首先应研究什么？ 答案：应该定量刻画向量的大小和方向这两个要素，并且向量OZ的大小可以用复数的模r来表示，向量OZ的方向可以借助角θ来表示． 追问2：如何用文字语言表述角θ呢？ 答案：角θ是以x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在射线(射线OZ)为终边的角． 设计意图：利用教科书上的探究问题，借助复数的几何意义，引导学生尝试定量刻高向量的大小和方向，为得出复数的三角表示式莫基，这也是得出复数三角表示式的第一个关键环节． 追问3：你能用向量OZ的模，以及以x轴的非负半轴为始边，以向量OZ所在射线（射线OZ）为终边的角θ来表示复数z吗？ 答案：由{a=rcosθb=rsinθ可以得到复数 r=a2+b2 设计意图：要求学生进一步借助图形，得出模r和角θ与平面向量的坐标（a，b）的关系，从中感受复数和平面向量的关系以及数形结合的思想，这是得出复数三角表示式的另一个关键环节． 追问4：刚才我们画的图形中，角θ的终边落在第一象限，得到a+bi= r(cosθ+isinθ)，这个式子是否具有一般性呢？即若角θ的终边落在第二、三、四象限，这个式子成立吗？若点 答案：改变平面向量OZ的位置后，通过观察分析，可以得出结论：不管角θ的终边落在什么位置，都有a+bi= r(cos 概念：一般地，任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数z=a+bi的辐角（argument of a complex number）．r(cosθ+isinθ)叫做复数z=a+b 设计意图：让学生分析角θ的终边落在各个象限或实轴、虚轴的情况，由具体到抽象，由特殊到一般，归纳出复数的三角表示式，感受数学的严谨性，培养抽象概括能力． 问题3：一个复数的辐角的值有多少个？ 答案：利用终边相同的角的特点，容易得出：任何一个不为零的复数的辐角的值有无限多个． 追问1：这些辐角的值之间有什么关系呢？ 答案：因为任一与角θ终边相同的角，都可以表示成角θ与整数个周角的和，所以这些辐角的值之间相差2π的整数倍． 追问2：若复数为0，它的辐角是哪个角？ 答案：对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的，而不是0． 设计意图：让学生由平面直角坐标系中终边相同的角的特点，得出复数辐角的多值性，以及这些值之问相差2π的整数倍；类比零向量，了解复数为0时辐角的任意性． 问题4：在研究问题时，复数辐角的多值性有时会给我们带来不便，为了使任意一个非0复数有唯一确定的“值”作为其所有辐角值的代表，你认为规定这种“值”在哪个范围内比较合适？ 答案：我们规定在0≤θ2π范围内的辐角θ的值为辐角的值的代表，就能使每个非零复数有唯一确定的“辐角的值”． 我们规定在0≤θ2π范围内的辐角θ的值为辐角的