04 专题四：“飞镖”模型的边角关系（方法专题）.docx

专题四：“飞镖”模型的边角关系 专题导入 1．如图，在△ABC中，∠A=55°，∠B=45°，那么∠ACD的度数为（　　） A．110 B．100 C．55 D．45 2．如图，∠BDC=98°，∠C=38°，∠A=37°，∠B的度数是（　　） A．33° B．23° C．27° D．37° 方法点睛 模型1：角的飞镖模型 如图所示，有结论：∠D＝∠A＋∠B＋∠C． 模型分析 解法一：如图①，作射线AD． ∵∠3是△ABD的外角，∴∠3＝∠B＋∠1，∵∠4是△ACD的外角，∴∠4＝∠C＋∠2 ∴∠BDC＝∠3＋∠4，∴∠BDC＝∠B＋∠1＋∠2＋∠C，∴∠BDC＝∠BAC＋∠B＋∠C 解法二：如图②，连接BC． ∵∠2＋∠4＋∠D＝180°，∴∠D＝180°－（∠2＋∠4） ∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠A＝180°，∴∠A＋∠1＋∠3＝180°－（∠2＋∠4） ∴∠D＝∠A＋∠1＋∠3. （1）因为这个图形像飞镖，所以我们往往把这个模型称为飞镖模型． （2）飞镖模型在几何综合题目中推导角度时使用． 模型2：边的飞镖模型 如图所示有结论：AB+AC> BD+CD. 模型分析 如图，延长BD交AC于点E。 ∵AB+AC=AB+AE+EC，AB+AE>BE，∴AB+A C>BE+EC.① ，∵BE+EC=BD+DE+EC， DE+EC> CD，∴BE+EC>BD+CD. ② ，由①②可得：AB+AC>BD+CD. 典例精讲 1．已知：如图，点D是△ABC内一点． 求证： （1）BD+CD＜AB+AC； （2）AD+BD+CD＜AB+BC+AC． 2．如图1，在∠A内部有一点P，连接BP、CP，请回答下列问题： ①求证：∠P＝∠1+∠A+∠2； ②如图2，利用上面的结论，你能求出五角星五个“角”的和吗？ ③如图3，如果在∠BAC间有两个向上突起的角，请你根据前面的结论猜想∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠A之间有什么等量关系，并说明理由． 举一反三 3．如图，在△ABC中，已知∠BAC＝70°，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D． （1）求∠BDC的度数； （2）试比较DA+DB+DC与12（AB+BC+AC 专题过关 4．如图，点E在BC上，ED⊥AC于F，交BA的延长线于D，已知∠D＝30°，∠C＝20°，则∠B的度数是（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 5．如图，∠BDC＝98°，∠C＝38°，∠B＝23°，∠A的度数是（　　） A．61° B．60° C．37° D．39° 6．如图，∠B＝60°，∠C＝40°，∠ADC＝3∠A，则∠A的度数为（　　） A．80° B．30° C．50° D．无法确定 7．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　 　． 8．一个零件的形状如图，按规定∠A＝90°，∠C＝25°，∠B＝30°，检验已量得∠BDC＝150°，就判断这个零件不合格，运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由． 9．（1）如图①，若∠A＝45°，∠B＝30°，∠D＝35°，求∠BCD的度数； （2）如果图①中的直线AB，AD不再相交于点A，即AB∥AˊD，就得到图②，此时，∠A相当于等于0度，若∠B＝40°，∠D＝45°，求∠BCD的度数． 10．如图，在四边形ABCD中，AM、CM分别平分∠DAB和∠DCB，AM与CM交于M．探究∠AMC与∠B、∠D间的数量关系． 11．已知点D为△ABC内部（包括边界但非A、B、C）上的一点． （1）若点D在边AC上，如图①，求证：AB+AC＞BD+DC； （2）若点D在△ABC内，如图②，求证：AB+AC＞BD+DC； （3）若点D在△ABC内，连接DA、DB、DC，如图③，求证：12（AB+BC+AC）＜DA+DB+DC＜AB+BC+AC 12．观察并探求下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由． （1）如图①，△ABC中，P为边BC上一点，试观察比较BP+PC与AB+AC的大小，并说明理由． （2）将（1）中点P移至△ABC内，得图②，试观察比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由． （3）将（2）中点P变为两个点P1、P2得图③，试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由． （4）将（3）中的点P1、P2移至△ABC外，并使点P1、P2与点A在边BC的异侧，且∠P1BC＜∠ABC，∠P2CB＜∠ACB，得图④，试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由． 【参考答案】 1．证明：（1）延长BD交AC于E， 在△ABE中，有AB+AE＞BE， 在△EDC中，有ED+EC＞CD， ∴AB+AE+ED+EC＞BE+CD， ∵AE+EC＝AC，BE＝BD+DE， ∴A