06 专题六：角度计算之双角平分线模型（方法专题）.docx

专题六：角度计算之双角平分线模型 专题导入 已知△ABC中，∠A=50°。 （1）如图1，点P为△ABC的内角平分线BP与CP的交点，则∠P=______°； （2）如图2，点P为△ABC内角平分线BP与外角平分线CP的交点，则∠P=______°； （3）如图3，点P是△ABC的外角平分线BP与CP的交点，则∠P=______°． 方法点睛 模型1：双内角平分线 【条件】BP，CP分别为∠ABC，∠ACB的角平分线. 【结论】∠P=90°+12∠A 模型2：双外角平分线 【条件】BP，CP分别为∠EBC，∠BCD的角平分线. 【结论】∠P=90°-12∠A 模型3：内外角平分线 【条件】BP，CP分别为∠ABC、∠ACD的角平分线. 【结论】∠A=2∠P. 模块一：双内角平分线 典例精讲 1．如图所示，在△ABC中，BO、CO是角平分线． （1）∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度数，并说明理由． （2）题（1）中，如将“∠ABC＝50°，∠ACB＝60°”改为“∠A＝70°”，求∠BOC的度数． （3）若∠A＝n°，求∠BOC的度数． 举一反三 2．如图1，在△ABC中，∠A＝72°，∠ABC与∠ACB的平分线交于I． （1）求∠BIC的度数； （2）如图2，如果∠ABC和∠ACB的三等分线分别交于点D，E，求∠BDC和∠BEC的度数； （3）设想一下，如果∠ABC和∠ACB的n等分线相交，你能求出它们所成钝角的度数吗？ 板块练习 3．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O． （1）若∠ABC＝40°、∠ACB＝50°，则∠BOC＝　 　； （2）若∠ABC+∠ACB＝116°，则∠BOC＝　 　； （3）若∠A＝76°，则∠BOC＝　 　； （4）若∠BOC＝120°，则∠A＝　 　； （5）请写出∠A与∠BOC之间的数量关系　 　（不必写出理由）． 4．直线MN与直线PQ垂直相交于点O，点A在射线OP上运动（点A不与点O重合），点B在射线OM上运动（点B不与点O重合）．AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线。 （1）当∠ABO＝60°时，求∠AEB的度数； （2）点A，B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况：若不发生变化，试求出∠AEB的大小． 5．阅读下面的问题及解答． 已知：如图①，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于O点，则∠BOC＝90°+12∠A=12×180 如图②，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的三等分线交于O1、O2，则∠BO1C=23×180°+13∠A，∠BO2C=1 根据以上信息，回答下列问题： （1）你能猜想出它的规律吗？（n等分时，内部有（n﹣1）个点）．∠BO1C＝　 　（用n的代数式表示），∠BOn﹣1C＝　 　（图③）． （2）根据你的猜想，取n＝4时，证明∠BO3C的度数成立． 【参考答案】 1．解：如图，∵BO、CO是角平分线， ∴∠ABC＝2∠1，∠ACB＝2∠2， ∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°， ∴2∠1+2∠2+∠A＝180°， ∵∠1+∠2+∠BOC＝180°， ∴2∠1+2∠2+2∠BOC＝360°， ∴2∠BOC﹣∠A＝180°， ∴∠BOC＝90°+12∠ （1）∵∠ABC＝50°，∠ACB＝60°， ∴∠A＝180°﹣50°﹣60°＝70°， ∴∠BOC＝90°+12×70 （2）∠BOC＝90°+12∠A＝ （3）∠BOC＝90°+12 2．解：（1）如图1， 设∠ABC＝2α，∠ACB＝2β； ∵∠ABC与∠ACB的平分线交于I， ∴∠IBC+∠ICB＝α+β；而∠A＝72°， ∴72°+2（α+β）＝180°， ∴α+β＝54°， ∴∠BIC＝180°﹣（α+β）＝126°． （2）如图2， 设∠ABC＝3α，∠ACB＝3β， 由题意得：3α+3β+72°＝180°， ∴α+β＝36°； ∵∠ABC和∠ACB的三等分线分别交于点D，E， ∴∠DBC+∠DCB＝2（α+β）＝72°， ∴∠BDC＝180°﹣72°＝108°； ∠BEC＝180°﹣（α+β）＝144°． （3）设∠ABC＝nα，∠ACB＝nβ，n等分线相交于P点，∠PBC＝kα，∠PCB＝kβ，（k＜n，且k与n都为正整数） 则n（α+β）+72°＝180°， 则k（α+β）=kn×108°，又所成夹角为钝角，即180 解得：k 则它们所成钝角的度数为：180°-kn×108° 3．（1）135°； （2）122°； （3）128°； （4）60°； （5）∠A＝2∠BOC﹣180°． 4．（1）∵MN⊥PQ，∴∠AOB＝90°，∵∠ABO＝60°，∴∠BAO＝30°， ∵AE