03 专题三：“8字”模型边角关系（方法专题）.docx

专题三：“8字”模型边角关系 专题导入 如图，线段AD与BC交于点O，连接AB，CD。若∠A=∠C=40°，∠B=30°，则∠D=_____°。 方法点睛 如下图，△OAB与△OCD中，∠AOB与∠COD为对顶角，这样的图形我们称之为“8”字型。对于“8”字型模型，有如下结论： （1）若∠A=∠C，则∠B=∠D； （2）∠A+∠B=∠C+∠D； （3）AD+BC>AB+CD。 典例精讲 1．已知如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N． 试解答下列问题： （1）在图1中，若∠A+∠D＝80°，则∠B+∠C＝　 　；仔细观察，在图2中“8字形”的个数：　 　个； （2）在图2中，若∠DAO＝50°，∠OCB＝40°，∠P＝35°，试求∠D的度数； （3）在图2中，若设∠D＝x°，∠B＝y°，其它条件不变，试求∠P的度数． 举一反三 2．已知：如左图，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，如右图，在左图的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题： （1）在左图中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：　 　； （2）在右图中，若∠D＝50°，∠B＝40°，试求∠P的度数；（写出解答过程） （3）如果右图中∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试写出∠P与∠D、∠B之间数量关系．（直接写出结论） 专题过关 3．如图所示，∠α的度数是（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 4．如图，已知AB⊥BD，AC⊥CD，∠A＝40°，则∠D的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 5．如图所示，AB、CD相交于点O，若BE平分∠ABD交CD于F，CE平分∠ACD交AB于G，∠A＝45°，∠BEC＝40°，则∠D的度数为　 　． 6．阅读材料，回答下列问题： 【材料提出】 “八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成． 【探索研究】 探索一：如图1，在八字形中，探索∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系为 　 　； 探索二：如图2，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD。若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度数为 　 　； 探索三：如图3，CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，AG反向延长线交CP于点P，则∠P、∠B、∠D之间的数量关系为 　 　． 【模型应用】 应用一：如图4，在四边形MNCB中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，四边形的内角∠MBC与外角∠NCD的角平分线BP，CP相交于点P．则∠A＝　 　（用含有α和β的代数式表示），∠P＝　 　．（用含有α和β的代数式表示） 应用二：如图5，在四边形MNCB中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，四边形的内角∠MBC与外角∠NCD的角平分线所在的直线相交于点P，∠P＝　 　．（用含有α和β的代数式表示） 【拓展延伸】 拓展一：如图6，若设∠C＝x，∠B＝y，∠CAP=13∠CAB，∠CDP=13∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为 　 　．（用x、 拓展二：如图7，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的邻补角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论 　 　． 7．如图，DE⊥AB，∠A＝25°，∠D＝45°，求∠ACD的度数． 8．如图，BP平分∠ABC交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E，AB于CD相交于点O，若∠A＝40°，∠C＝36°，求∠P的度数． 9．如图，AC、BD是四边形ABCD的对角线，且AC、BD相交于点O．求证： （1）AB+CD＜AC+BD； （2）AC+BD＞12（AB+BC+CD+ 10．小学四年级我们已经知道三角形三个内角和是180°，对于如图1中，AC，BD交于O点，形成的两个三角形中的角存在以下关系：①∠DOC＝∠AOB②∠D+∠C＝∠A+∠B．试探究下面问题： 已知∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E， （1）如图2，若AB∥CD，∠D＝30°，∠B＝40°，则∠E＝　 　； （2）如图3，若AB不平行CD，∠D＝30°，∠B＝50°，则∠E＝　 　； （3）在总结前两问的基础上，借助图3，探究∠E与∠D、∠B之间是否存在某种等量关系？若存在，请说明理由；若不存在，请举例说明． 【参考答案】 1．解：（1）80°， 6个； （2）∵AP、CP分别是∠DAO、∠BCO的平分线， ∴∠1=12∠DAO=12 ∠2=12∠OCB=12 又∵∠AMO＝∠1+∠D＝∠3+∠P