专题20 利用导数解决函数的极值点问题(原卷版).docxVIP

专题20 利用导数解决函数的极值点问题 【知识总结】 用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题。其解题要点如下： (1)定函数(极值点为x0)，即利用导函数符号的变化判断函数单调性，进而确定函数的极值点x0。 (2)构造函数，即根据极值点构造对称函数F(x)＝f(x)－f(2x0－x)，若证x1x2xeq \o\al(2,0)，则令F(x)＝f(x)－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,0),x)))。 (3)判断单调性，即利用导数讨论F(x)的单调性。 (4)比较大小，即判断函数F(x)在某段区间上的正负，并得出f(x)与f(2x0－x)的大小关系。 (5)转化，即利用函数f(x)的单调性，将f(x0＋x)与f(x0－x)的大小关系转化为x0＋x与x0－x之间的关系，进而得到所证或所求。 说明：若要证明f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))的符号问题，还需进一步讨论eq \f(x1＋x2,2)与x0的大小，得出eq \f(x1＋x2,2)所在的单调区间，从而得出该处导数值的正负。 【例题讲解】 【例1】已知函数f(x)＝eq \f(1,x)－x＋alnx。 (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，证明：eq \f(f?x1?－f?x2?,x1－x2)a－2。 【变式训练】　已知f(x)＝xlnx－eq \f(1,2)mx2－x，m∈R。若f(x)有两个极值点x1，x2，且x1x2，求证：x1x2e2(e为自然对数的底数)。 【例题训练】 一、单选题 1．已知函数，则下列结论错误的是（ ） A．是奇函数 B．若，则是增函数 C．当时，函数恰有三个零点 D．当时，函数恰有两个极值点 2．如图是函数的导函数的图象，则函数的极小值点的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．已知函数的导函数，若在处取得极大值，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．若函数无极值点则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．已知函数有两个极值点，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．“”是“函数在上有极值”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知函数，若同时满足条件：①，为的一个极大值点；②，.则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．若函数（为常数）有两个不同的极值点，则实数取值范围是（ ） A． B． C． D． 9．已知函数在处取得极值，则（ ） A．1 B．2 C． D．-2 10．设函数，则下列是函数极小值点的是（ ） A． B． C． D． 11．函数的图象大致是( ) A． B． C． D． 12．已函数的两个极值点是和，则点的轨迹是（ ） A．椭圆弧 B．圆弧 C．双曲线弧 D．抛物线弧 13．若是函数的极值点，则的值是（ ） A．1 B． C． D． 14．已知函数，则）的极大值点为（ ） A． B． C． D． 15．若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多选题 16．设函数的导函数为，则（ ） A． B．是的极值点 C．存在零点 D．在单调递增 17．关于函数，，下列结论正确的有（ ） A．当时，在处的切线方程为 B．当时，存在惟一极小值点 C．对任意，在上均存在零点 D．存在，在有且只有一个零点 18．已知函数，，则下列说法正确的有（ ） A．是偶函数 B．是周期函数 C．在区间上，有且只有一个极值点 D．过(0，0)作的切线，有且仅有3条 19．已知.（ ） A．的零点个数为4 B．的极值点个数为3 C．x轴为曲线的切线 D．若，则 20．设函数，则下列说法正确的是（ ） A．定义域是 B．时，图象位于轴下方 C．存在单调递增区间 D．有且仅有一个极值点 三、解答题 21．已知函数. (1)若只有一个极值点，求的取值范围. (2)若函数存在两个极值点，记过点的直线的斜率为，证明：. 22．已知函数． （1）若是奇函数，且有三个零点，求的取值范围； （2）若在处有极大值，求当时的值域． 23．（1）当时，求证：； （2）若对于任意的恒成立，求实数k的取值范围； （3）设a0，求证；函数在上存在唯一的极大值点，且. 24．已知函数. （1）讨论函数的单调性. （2）若，设是函数的两个极值点，若，求证:. 25．已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若有两个极值点，求的取值范围. 26．已知函数，是偶函数．