专题12 利用倒序相加法求数列和(原卷版).docxVIP

专题12 利用倒序相加法求数列和 【知识总结】 1．倒序相加法与并项求和法 (1)倒序相加法 如果一个数列的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的。 (2)并项求和法 在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和。 形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解。 例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050。 【例题讲解】 【例1】正项数列{an}的前n项和Sn满足：Seq \o\al(2,n)－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0. (1)求数列{an}的通项公式an； (2)令bn＝eq \f(n＋1,?n＋2?2a\o\al(2,n))，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N*，都有Tn＜eq \f(5,64). 【变式训练】在数列{an}中，a1＝2，an是1与anan＋1的等差中项． (1)求证：数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an－1)))是等差数列，并求{an}的通项公式； (2)求数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,n2an)))的前n项和Sn. 【例题训练】 一、单选题 1．已知是上的奇函数，,,则数列的通项公式为（ ） A． B． C． D． 2．已知是上的奇函数，，则数列的通项公式为（ ） A． B． C． D． 3．已知，（），则（ ） A． B． C． D． 4．设n为满足不等式的最大正整数，则n的值为（ ）． A．11 B．10 C．9 D．8 5．已知函数满足，若数列满足，则数列的前10项和为（ ） A． B．33 C． D．34 6．已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项和为（ ） A．100 B．105 C．110 D．115 7．已知函数，设（），则数列的前2019项和的值为（ ） A． B． C． D． 8．已知若等比数列满足则（ ） A． B．1010 C．2019 D．2020 9．设函数，利用课本（苏教版必修）中推导等差数列前项和的方法，求得的值为（ ） A． B． C． D． 10．设等差数列的前项和是，已知，则（ ） A． B． C． D． 11．已知Fx=fx+12?2是R上的奇函数， A．an=n B．an=2n+1 12．已知函数，则的值为（ ） A．4033 B．-4033 C．8066 D．-8066 13．已知为R上的奇函数，，则数列的通项公式为 A． B． C． D． 二、填空题 14．设数列的通项公式为该数列的前n项和为，则_________. 15．已知函数，，正项等比数列满足，则等于______． 16．设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.已知：任何三次函数都有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心.设，数列的通项公式为，则_______. 17．已知，等差数列的前项和为，且，则的值为___________. 18．设函数，数列满足，则______. 19．若()，则数列的通项公式是___________. 20．对任意都有.数列满足：，则__________. 21．函数，数列满足，其前项和为，则_____. 22．推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得__________. 23．设，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得_________． 24．已知数列满足，且，若函数，记，则数列的前7项和为__________. 25．给出定义 ：对于三次函数设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，经过研究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.已知函数.设.若则__________． 三、解答题 26．已知数列的前n项和为． （Ⅰ）若为等差数列，求证：； （Ⅱ）若，求证：为等差数列． 27．已知函数，设数列满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）若记，2，3，，，求数列的前项和. 28．已知f(x)＝ (x∈R)，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是函数y＝f(x)的图像上的两点，且线段P1P2的中点P的横坐标是. （1）求证：点P的纵坐标是定值； （2）若数列{an}的通项公式是an＝，求数列{an}的前m项和Sm. 29．已知f(x)＝ (x∈R)，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是函数y＝f(