专题13 利用导数证明或求函数的单调区间(解析版).docx

专题13 利用导数证明或求函数的单调区间 【知识总结】 1．函数的导数与单调性的关系 函数y＝f(x)在某个区间内可导，则 (1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内单调递增。 (2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内单调递减。 (3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数。 【例题讲解】 【例1】　(1)已知e为自然对数的底数，则函数y＝xex的单调递增区间是(　　) A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1] C．[1，＋∞) D．(－∞，1] (2)已知函数f(x)＝x2－(a＋2)x＋alnx，其中a∈R。 ①若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线与直线x－y＋3＝0平行，求a的值； ②求函数f(x)的单调区间。 (1)解析　令y′＝(1＋x)ex≥0。因为ex0，所以1＋x≥0，所以x≥－1。故选A。 答案　A (2)解　①由f(x)＝x2－(a＋2)x＋alnx可知，函数f(x)的定义域为{x|x0}，且f′(x)＝2x－(a＋2)＋eq \f(a,x)， 依题意，f′(2)＝4－(a＋2)＋eq \f(a,2)＝1，解得a＝2。 ②依题意，f′(x)＝2x－(a＋2)＋eq \f(a,x)＝eq \f(?2x－a??x－1?,x)(x0)。 令f′(x)＝0，得x1＝1，x2＝eq \f(a,2)。 (ⅰ)当a≤0时，eq \f(a,2)≤0，由f′(x)0，得x1； 由f′(x)0，得0x1。 则函数f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)。 (ⅱ)当0eq \f(a,2)1，即0a2时，由f′(x)0，得0xeq \f(a,2)或x1； 由f′(x)0，得eq \f(a,2)x1。 则函数f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2)))，(1，＋∞)， 函数f(x)的单调递减区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，1))。 (ⅲ)当eq \f(a,2)＝1，即a＝2时，f′(x)≥0恒成立，则函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)。 (ⅳ)当eq \f(a,2)1，即a2时， 由f′(x)0，得0x1或xeq \f(a,2)； 由f′(x)0，得1xeq \f(a,2)， 则函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，＋∞))， 函数f(x)的单调递减区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(a,2)))。 确定函数单调区间的步骤 1．确定函数f(x)的定义域。 2．求f′(x)。 3．解不等式f′(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间。 4．解不等式f′(x)0，解集在定义域内的部分为单调递减区间。 【变式训练】　已知函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k＋\f(4,k)))lnx＋eq \f(4－x2,x)，其中常数k0，讨论f(x)在(0,2)上的单调性。 解　因为f′(x)＝eq \f(k＋\f(4,k),x)－eq \f(4,x2)－1 ＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k＋\f(4,k)))x－4－x2,x2)＝－eq \f(?x－k?\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(4,k))),x2)(0x2，k0)。 ①当0k2时，eq \f(4,k)k0，且eq \f(4,k)2， 所以x∈(0，k)时，f′(x)0，x∈(k,2)时，f′(x)0， 所以函数f(x)在(0，k)上是减函数，在(k,2)上是增函数； ②当k＝2时，eq \f(4,k)＝k＝2，f′(x)0在(0,2)上恒成立， 所以f(x)在(0,2)上是减函数； ③当k2时，0eq \f(4,k)2，keq \f(4,k)， 所以x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4,k)))时，f′(x)0，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,k)，2))时，f′(x)0， 所以函数f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4,k)))上是减函数，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,k)，2))上是增函数。 【例题训练】 一、多选题 1．已知函数，数列的前n项和为，且满足，，则下列有关数列的叙述正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】 A．计算出的值，与比较大小并判断是否正确；B．利用导数分析的最小值，由此判断出