(通用)高考数学一轮复习坐标系与参数方程学案理44.doc

(通用)2018年高考数学一轮复习坐标系与参数方程学案理4-4! (通用)2018年高考数学一轮复习坐标系与参数方程学案理4-4! PAGE / NUMPAGES (通用)2018年高考数学一轮复习坐标系与参数方程学案理4-4! §选修 4－4坐标系与参数方程 考纲展示 ? 1. 理解坐标系的作用．了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变 化情况． 2．会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化． 3．能在极坐标系中给出简单图形( 如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆) 表示的极 坐标方程． 4．了解参数方程，了解参数的意义． 5．能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程． 6．掌握直线的参数方程及参数的几何意义，能用直线的参数方程解决简单的相关问题． 考点 1直角坐标方程与极坐标方程的互化 极坐标系 设 M是平面内一点，极点 O与点 M的距离 OM叫做点 M的________，记为ρ，以极轴 Ox为始边，射线 OM为终边的角叫做点 M的极角，记为θ . 有序数对 ( ρ ，θ ) 叫做点 M的极坐 标，记作 M(ρ，θ)．一般地，不作特殊说明，我们认为ρ ≥0,0 ≤ θ ＜ 2π . (2) 极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点， x 轴的正半轴作为极轴， 并在两种坐标系中取相同的长度单位，设 M 是平面内任意一点，它的直角坐标是 ( x， y) ，极 坐标为 ( ρ ， θ ) ，则它们之间的关系为 x＝ ________， y＝ ________. 另一种关系为 ρ2＝ ________， tan θ ＝ ________( x≠0) ． 答案： (1) 极径 (2) ρ cos θ ρ sin θ x2＋ y2 y x 2．常用简单曲线的极坐标方程 - 1 - 几个特殊位置的直线的极坐标方程①直线过极点： θ＝θ 0 和θ＝π＋ θ 0；②直线过点 M( a, 0)且垂直于极轴：ρcosθ＝ a； π ③直线过 M b，2且平行于极轴：ρ sin θ＝ b. 几个特殊位置的圆的极坐标方程 ①当圆心位于极点，半径为 r ：ρ ＝ ________； ②当圆心位于 M( a, 0) ，半径为 a： ρ ＝ ________； ③当圆心位于 M a ， π 2 ，半径为 a： ρ ＝ ________. 答案： (2) ①r ② 2 acos θ ③2asin θ π [ 典题 1] (1) 在极坐标系下， 已知圆O：ρ ＝ cos θ＋ sin θ和直线l：ρ sinθ － 4＝ 2 2 . ①求圆 O和直线 l 的直角坐标方程； ②当 θ ∈ (0 ，π ) 时，求直线l 与圆 O公共点的一个极坐标． [ 解]①圆 O： ρ ＝ cos θ ＋ sinθ ， 即ρ2＝ρ cos θ＋ρ sinθ ， 圆 O的直角坐标方程为 x2＋ y2＝ x＋ y，即 x2＋y2－ x－ y＝0. π 2 直线 l ： ρ sin θ － 4 ＝ 2 ，即 ρ sin θ － ρ cos θ ＝ 1， 则直线 l 的直角坐标方程为 y－x＝ 1，即 x－ y＋ 1＝ 0. x2＋ y2－x－ y＝ 0， x＝ 0， ②由 得 x－ y＋ 1＝ 0， y＝ 1， 故直线 l 与圆 O公共点的一个极坐标为 1， π 2 . (2)[2017 ·河南洛阳统考 ] 已知圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程分别为 ρ ＝ 2，ρ2－ 2 2ρcos θ π －＝ 2. ①将圆 O1和圆 O2的极坐标方程化为直角坐标方程； ②求经过两圆交点的直线的极坐标方程． - 2 - [ 解]①由 ρ ＝ 2 知， ρ 2＝ 4，所以 x2＋ y2＝4. 2 π 因为 ρ － 2 2ρ cos θ － 4 ＝ 2， 2 2 2ρ cos θcos π＋ sin θ sin π ＝ 2， 所以 ρ － 4 4 所以 x 2＋ y 2－2 －2 y － 2＝0. x ②将两圆的直角坐标方程相减，得 经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρ sinθ＝ 1， π 2 即 ρ sin θ ＋ 4 ＝ 2 . [ 点石成金 ] (1) 直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式 x＝ ρ cos θ 及 y＝ ρ sin θ 直接代入并化简即可； (2) 极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如ρ cos θ ， ρ sin θ ， ρ2 的 形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以 ( 或同除以 ) ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验． 考点