考点37 双曲线-高考全攻略之备战高考数学（文）考点一遍过含解析.doc

（1）了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. （2）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质. （3）理解数形结合的思想. （4）了解双曲线的简单应用. 一、双曲线的定义和标准方程 1．双曲线的定义 （1）定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫做双曲线． 这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫做双曲线的焦距． （2）符号语言：. （3）当时，曲线仅表示焦点所对应的双曲线的一支； 当时，曲线仅表示焦点所对应的双曲线的一支； 当时，轨迹为分别以F1，F2为端点的两条射线； 当时，动点轨迹不存在． 2．双曲线的标准方程 双曲线的标准方程有两种形式： （1）焦点在x轴上的双曲线的标准方程为(a＞0，b＞0)，焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，焦距为2c，且，如图1所示； （2）焦点在y轴上的双曲线的标准方程为(a＞0，b＞0)，焦点分别为F1(0，－c)，F2(0，c)，焦距为2c，且，如图2所示． 图1 图2 注：双曲线方程中a，b的大小关系是不确定的，但必有c＞a＞0，c＞b＞0． 3．必记结论 （1）焦点到渐近线的距离为b. （2）与双曲线(a＞0，b＞0)有共同渐近线的双曲线方程可设为． （3）若双曲线的渐近线方程为，则双曲线方程可设为或． （4）与双曲线(a＞0，b＞0)共焦点的双曲线方程可设为 ． （5）过两个已知点的双曲线的标准方程可设为． （6）与椭圆(a>b>0)有共同焦点的双曲线方程可设为． 二、双曲线的几何性质 1．双曲线的几何性质 标准方程 (a＞0，b＞0) (a＞0，b＞0) 图形 范围 ， ， 对称性 对称轴：x轴、y轴；对称中心：原点 焦点 左焦点F1(－c，0)，右焦点F2(c，0) 下焦点F1(0，－c)，上焦点F2(0，c) 顶点 轴 线段A1A2是双曲线的实轴，线段B1B2是双曲线的虚轴； 实轴长|A1A2|＝2a，虚轴长|B1B2|＝2b 渐近线 离心率e 2．等轴双曲线的概念和性质 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．等轴双曲线具有以下性质： （1）方程形式为； （2）渐近线方程为，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角； （3）实轴长和虚轴长都等于，离心率． 考向一 双曲线的定义和标准方程 1．在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用． 2．求双曲线方程时，一是注意判断标准形式；二是注意a、b、c的关系易错易混. 典例1 已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2= A． B． C． D． 【答案】C ∴cos∠F1PF2==. 典例2 已知F为双曲线C:x29-y216=1的左焦点，P,Q为双曲线C 【答案】44 【解析】易知双曲线C:x29- ∴点A5,0是双曲线的右焦点，虚轴长为8 双曲线的图象如图： 1．若双曲线=1的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，A(1，4)，则|PF|+|PA|的最小值是________.? 考向二 求双曲线的方程 求解双曲线的标准方程时，先确定双曲线的类型，也就是确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴，从而设出相应的标准方程的形式，然后利用待定系数法求出方程中的的值，最后写出双曲线的标准方程. 在求双曲线的方程时，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或可直接设双曲线的方程为. 典例3 已知双曲线C1与双曲线C2的焦点重合，C1的方程为x23-y2=1 【答案】 典例4 如图,已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,求动圆圆心M的轨迹方程. 2．已知分别是双曲线E：的左、右焦点，P是双曲线上一点，到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍. （1）求双曲线的渐近线方程； （2）当时，的面积为，求此双曲线的方程. 考向三 双曲线的渐近线 对于双曲线的渐近线，有下面两种考查方式： （1）已知双曲线的方程求其渐近线方程; （2）给出双曲线的渐近线方程求双曲线方程，由渐近线方程可确定a,b的关系，结合已知条件可解. 典例5 已知分别是双曲线的左、右焦点，的坐标为，若双曲线的右支上有一点，且满足，则该双曲线的渐近线方程为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵的坐标为（-7，0），∴c=7， ∵双曲线的右支上有一点P，满足， ∴2a=4，即a=2， 则b2=c2﹣a2=7﹣4=3，