考点22 等差数列及其前n项和-高考全攻略之备战高考数学（理）考点一遍过含解析.doc

（1）理解等差数列的概念. （2）掌握等差数列的通项公式与前n项和公式. （3）了解等差数列与一次函数的关系. 一、等差数列 1．等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．即，为常数． 2．等差中项 如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且． 3．等差数列的通项公式及其变形 以为首项，d为公差的等差数列的通项公式为． 公式的变形：，． 4．等差数列与一次函数的关系 由等差数列的通项公式，可得． 令，，则，其中，为常数． （1）当时，在一次函数的图象上，数列的图象是直线上均匀分布的一群孤立的点，且当时数列为递增数列，当时数列为递减数列． （2）当时，，等差数列为常数列，数列的图象是平行于x轴的直线（或x轴）上均匀分布的一群孤立的点． 二、等差数列的前n项和 1．等差数列的前n项和 首项为，末项为，项数为n的等差数列的前n项和公式：． 令，，可得，则 当，即时，是关于n的二次函数，点是的图象上一系列孤立的点； 当，即时，是关于n的一次函数，即或常函数，即，点是直线上一系列孤立的点． 我们可以借助二次函数的图象和性质来研究等差数列的前n项和的相关问题． 2．用前n项和公式法判定等差数列 等差数列的前n项和公式与函数的关系给出了一种判断数列是否为等差数列的方法：若数列的前n项和，那么当且仅当时，数列是以为首项，为公差的等差数列；当时，数列不是等差数列． 三、等差数列的性质 1．等差数列的常用性质 由等差数列的定义可得公差为的等差数列具有如下性质： （1）通项公式的推广：，． （2）若，则． 特别地，①若，则； ②若，则． ③有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项的和，即 （3）下标成等差数列的项组成以md为公差的等差数列． （4）数列是常数是公差为td的等差数列． （5）若数列为等差数列，则数列是常数仍为等差数列． （6）若，则． 2．与等差数列各项的和有关的性质 利用等差数列的通项公式及前n项和公式易得等差数列的前n项和具有如下性质： 设等差数列（公差为d）和的前n项和分别为， （1）数列是等差数列，首项为，公差为． （2）构成公差为的等差数列． （3）若数列共有项，则，． （4）若数列共有项，则，． （5），． 考向一 等差数列的判定与证明 等差数列的判定与证明的方法： 定义法：或是等差数列； 定义变形法：验证是否满足； 等差中项法：为等差数列； 通项公式法：通项公式形如为常数为等差数列； 前n项和公式法：为常数为等差数列． 注意：（1）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项，使得即可； （2）如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法． 典例1 已知数列满足，则“数列为等差数列”是“数列为等差数列”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【名师点睛】根据等差数列的定义，“数列为等差数列”能推出“数列为等差数列”，“数列为等差数列”不能推出“数列为等差数列”，从而可得结果. 1．已知数列满足，且. （1）证明：数列是等差数列； （2）设，求数列的前项和. 考向二 等差数列中基本量的求解 1．等差数列运算问题的一般求法是设出首项和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解． 2．等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量，，d，n，，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想． 典例2 已知 QUOTE 为等差数列，为其前项和，若，，则_______. 【答案】6 【解析】∵是等差数列，∴，，∴，解得， ∴，故填6． 典例3 在等差数列中，a1＝1，S5＝－15. （1）求数列的通项公式； （2）若数列的前k项和Sk＝－48，求k的值． 2．已知等差数列的前项和为，若，则 A． B． C． D． 考向三 求解等差数列的通项及前n项和 1．求解等差数列通项公式的方法主要有两种：（1）定义法.（2）前项和法，即根据前项和与的关系求解. 在利用定义法求等差数列通项公式时，常涉及设等差数列项的问题，等差数列中项的常见设法有：（1）通项法；（2）对称项设法.当等差数列的项数为奇数时，可设中间一项为，再以公差为向两边分别设项：；当等差数列的项数为偶数时，可设中间两项分别为，再以公差为向两边分别设项：. 2．递推关系式构造等差数列的常见类型： （1）转化为常数，则是等差数列； （2）转化为常数，则（c可以为0）是等差数列； （3）转化为常数，则是等差数列； （4）转化为常数，则是等差数列； （