概率统计习题与答案(2).docx

作业 2（修改 2008－ 10） 4. 掷一枚非均匀的硬币 , 出现正面的概率为 p (0 p 1) , 若以 X 表示直至掷到正、反面 都出现为止所需投掷的次数 ,求 X 的概率分布 . 解 对于 k 2, 3, , 前 k 1 次出现正面 , 第 k 次出现反面的概率是 k 1 p (1 p) , 前 k 1 次出现反面 , 第 k 次出现正面的概率是 (1 p ) k 1 p , 因而 X 有概率分布 P ( X k ) p k 1 (1 p ) (1 p) k 1 p , k 2, 3, . 5. 一个小班有 8 位学生 , 其中有 5 人能正确回答老师的一个问题 . 老师随意地逐个请学 生回答 , 直到得到正确的回答为止 , 求在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生 个数的概率分布 . 第 1 个能正确回答的概率是 5 / 8 , 第 1 个不能正确回答 , 第 2 个能正确回答的概率是 (3 / 8)(5 / 7) 15/56, 前 2 个不能正确回答 , 第 3 个能正确回答的概率是 (3 / 8)(2 / 7)(5 / 6) 5 /56 , 前 3 个不能正确回答 , 第 4 个能正确回答的概率是 (3 / 8)(2 / 7)(1/ 6)(5 / 5) 1/56, 前 4 个都不能正确回答的概率是 (3 / 8)(2 / 7)(1/ 6)(0 /5) 0 . 设在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数为 X,则X有分布 X 0 1 2 3 P 5/ 8 15/ 56 5/ 56 1/ 56 6. 设某人有 100 位朋友都会向他发送电子邮件 , 在一天中每位朋友向他发出电子邮件的 概率都是  0.04, 问一天中他至少收到  4 位朋友的电子邮件的概率是多少  ?试用二项分布公 式和泊松近似律分别计算  . 解 设一天中某人收到  X 位朋友的电子邮件  , 则  X  ~ B (100, 0.04)  , 一天中他至少收到  4 位朋友的电子邮件的概率是 P(X 4) . 用二项分布公式计算 P ( X 4) 1 P ( X 4) 3 C100k 0.04 k (1 0.04) 100 k 0.5705 . 1 k 0 2) 用泊松近似律计算 k 3 k k 100 k 3 4 4 P ( X 4) 1 P ( X 4) 1 k 0 C100 0.04 (1 0.04) 1 k 0 e 0.5665 . k ! 习题二 - 2 - 8. 设 X 服从泊松分布 , 分布律为 k P ( X k ) e , k 0,1, 2, . k ! 问当 k 取何值时 P { X k } 最大？ 解 设 ak P ( X k ) / P ( X k 1) , k 1, 2, , 则 ak k 1 e / k ! , k /( k 1)! e k 数列 { a } 是一个递减的数列 . k 若 a1 1, 则 P(X 0) 最大. 若 a1 1, 则当 ak 1 且 ak 1 1时, P{X k } 最大 . 由此得 1) 若 1,则 P(X 0)最大. 2) 若 1,则 P{X k } 最 大 / k 1且 /( k 1) 1 1 k. 由上面的 1)和 2) 知, 无论 1 或 1, 都有 P{ X k } 最大 k [ ] 不是整数 1 或 . 是整 数 12. 设随机变量 X 的概率密度为 p( x ) xI [0,1) ( x ) (2 x ) I [1,2 ] ( x ) . 求 X 的分布函数 F ( x ) , 并作出 p( x ) 与 F ( x) 的图形 . 解 x x 0 x F ( x ) p ( v) dv I ( ,0) ( x ) 0 dv I [0,1) ( x ) 0 dv vdv 0 0 1 x I [1,2) ( x ) 0 dv vdv (2 x )dv 1 0 1 2 I [2, ) ( x ) 0 dv vdv (2 v ) dv 0 dv 0 1 2 x 1 x 1 2 I [0,1) ( x ) vdv I [1,2) ( x )vdv (2 v) dv I[2, ) ( x)vdv (2 v )dv 0 0 1 0 1 ( x 2 / 2) I [0,1) ( x ) (2 x x 2 / 2 1) I [1,2) ( x) I [2, ) ( x ) . 11. 设随机变量 X 的概率密度为 p ( x) cxI [0,10 ] ( x) . 求常数 c 和 X 的分布函数