多维随机变量及其分布.pptxVIP

第一节 二维随机变量 到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其分布. 但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述. 在打靶时,命中点的位置是由一对r .v (两个坐标)来确定的. 飞机的重心在空中的位置是由三个r .v (三个坐标)来确定的等等.它的样本空间是一般地,设 是一个随机试验,设由它们构成的一个 维向是定义在 上的随机变量,量叫做维随机向量或 维随机变量. 以下重点讨论二维随机变量.请注意与一维情形的对照 .一、二维随机变量的分布函数设 是二维一维随机变量随机变量,如果对于任意实数X的分布函数称为二维随机变量 的分布函数,或者称为随机变量 和 的联合分布函数.定义1二元 函数 那么,分布函数 在点 处的函数值就是随机点 落在下面左图所示的,以点 为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率. 将二维随机变量 看成是平面上随机点的坐标,分布函数的函数值的几何解释 随机点 落在矩形域内的概率为一维随机变量X全部可能取到的不相同离散型则称是离散型随机变量.k=1,2, …可能取的值是k=1,2, …称之为二维离散型随机变量 的分布律,二、二维离散型随机变量如果二维随机变量定义2的值是有限对或可列无限多对,X 的分布律 设二维离散型随机变量记或随机变量X和Y 的联合分布律. 二维离散型随机变量 的分布律具有性质也可用表格来表示随机变量X和Y 的联合分布律. 例1　把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次抛掷中正面出现的次数 ，而 Y 为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值 , 求 (X ,Y) 的分布律 .解( X, Y ) 可取值 (0,3) , (1,1) , (2,1) , (3,3)P{X=0, Y=3}P{X=1, Y=1} =3/8=3/8P{X=2, Y=1}P{X=3, Y=3}对于二维随机变量 一维随机变量X的分布函数如果连续型存在非负的函数使对于任意 有则称 是连续型的二维随函数 称为二维机变量 ,或随机变量（X,Y )的概率密度 , 称为随机变量 X 和 Y 的联合概 率密度.三、二维连续型随机变量定义3X的概率密度函数二维连续型随机变量 的概率密度具有性质在 f (x,y)的连续点 ,（X,Y）的概率密度的性质 :例2 设(X,Y)的概率密度是(1) 求分布函数(2) 求概率.区域解 (1)积分区域当 时,当 时,故(2)第二节 边缘分布 二维联合分布全面地反映了二维随机变量(X,Y)的取值及其概率规律. 而单个随机变量X,Y也具有自己的概率分布. 那么要问:二者之间有什么关系呢?这一节里,我们就来探求这个问题 .具有分布函数也有各自的分而 和 都是随机变量 ,分别记为依次称为二维随机布函数,变量 (X,Y) 关于 X 和 Y的边缘分布函数.一、边缘分布函数二维随机变量 (X,Y)作为一个整体,X和Y 的联合分布律为二、离散型随机变量的边缘分布律一般地，对离散型 r.v ( X,Y )，则 (X,Y) 关于X 的边缘分布律为(X,Y) 关于 Y 的边缘分布律为 例1　把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次抛掷中正面出现的次数 ，而 Y 为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值 , 求 (X ,Y) 的分布律 .解( X, Y ) 可取值 (0,3) , (1,1) , (2,1) , (3,3)P{X=0, Y=3}P{X=1, Y=1} =3/8=3/8P{X=2, Y=1}P{X=3, Y=0}P{X=0}=P{X=0, Y=1}+P{X=0, Y=3}=1/8,P{X=1, Y=1}+P{X=1, Y=3}P{X=1}==3/8,P{X=2}=P{X=2, Y=1}+P{X=2, Y=3}=3/8,P{X=3}=P{X=3, Y=1}+P{X=3, Y=3}=1/8.P{Y=1}==3/8+3/8=6/8,=1/8+1/8=2/8.P{Y=3}=三、连续型随机变量的边缘概率密度 对连续型 r.v ( X,Y ) ，X 和Y 的联合概率密度为则 ( X,Y ) 关于 X 的边缘概率密度为事实上 ,( X,Y )关于Y 的边缘概率密度为例2 设(X,Y)的概率密度是求 (1) c的值； （2）两个边缘密度。解 (1)= 5c/24