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拉格朗日中值定理及其应用
一、拉格朗日中值定理
定理1. 设函数f(x)满足
(1) 在闭区间[a,b]上连续；
(2) 在开区间(a,b)内可导；
证 令
几何解释:
如果f(x)在(a,b)内可导， 则在以 为端点的区间上f(x)也满足拉格朗日中值定理，即
因此又称拉格朗日中值定理为有限增量定理.
推论1 若 在(a,b)内恒等于零，则f(x)在(a,b)内必为某常数.
由拉格朗日中值定理可以得出积分学中有用的推论：
推论2 若在(a,b)内恒有 ，则有
其中C为某常数.
由推论1可知f(x)－g(x)=C，即f(x)=g(x)+C.
f(x)=g(x)+C,
例1 函数 在区间[－1,3]上满足拉格朗日中值定理的 =( ).
二、拉格朗日中值定理的应用
可解得 ，因此本例应选D.
例2 当x>0时,试证不等式
取f(t)=ln(1+t) ，a=0，b=x.
说明 本例中，若令y=ln t，a=1，b=1+x，亦可利用拉格朗日中值定理证明所给不等式.这表明证明不等式时，f(x)与[a,b]的选取不是唯一的.
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