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专题2-2基本不等式提高版十大题型汇总
TOC\o1-3\h\z\u题型1公式法 1
题型2多次使用均值不等式 5
题型3消元法 10
题型4多元均值不等式 15
题型5基本不等式与二次不等式结合 20
题型6换元法 23
题型7三角换元法 29
题型8万能k法 31
题型9因式分解法 33
题型10不等式链 37
题型1公式法
【例题1】（2022秋·河南郑州·高一新密市第一高级中学校考阶段练习）已知x0，y0满足2x2y+xy2?y?8x=0
A．22 B．4 C．32
【答案】C
【详解】由2x2y+xy2?y?8x=0
∴y+2x=1x
∴y+2x≥32
【变式1-1】1.（2022秋·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考期中）已知a，b均为正数，且ab=a+4b，则a216?
【答案】6
【分析】由已知有4a+1
【详解】由a,b均为正数，且ab=a+4b，则4a
又a2
a4+b=(4a+
所以2(a216+b
所以a216+
故答案为：6
【变式1-1】已知正实数a，b满足2a+b=1，则2a2+1
【答案】5
【详解】由正实数a，b满足2a+b=1，所以2a+b+2=3，
则2
=2a+
=1
当且仅当b+2a=4ab+2且
即2a2+1a+
【变式1-1】3.（2022·天津·高三专题练习）.已知实数x，y满足xy≥0，则4xx+y+x+y
【详解】∵xy≥0,
∴x+yx?y0,4x=2[(x+y)+(x?y)],
∵4xx+y+x+yx?y=
因此4xx+y+x+y
故答案为：2+2
【变式1-1】4.（2022·全国·校联考一模）已知正实数a,b满足2ab,且ab=12,则
【详解】由题意得2a?b0，且ab=1
4a2
=(2a?b)+32a?b≥2
当且仅当2a?b=32a?b，等号成立，即a=7+
【变式1-1】5.（2023春·天津河西·高三天津市新华中学校考阶段练习）已知正实数a，b满足2a+b=2，则4a2+1?b2+1
【详解】空1方法一，由2a+b=2得4a2+4ab+
4a
当ab=12且2a+b=2时，即a=1
空1方法二，由柯西不等式得
4
当a=12，
故答案为：4.
空2，2a2?b+4a+1
=2a+
=?1+
=?1+
=?1+
≥?1+
=1
当a=42
故答案为：12
题型2多次使用均值不等式
【例题2】（2023·全国·高三专题练习）已知正实数x,y满足4x2+25
A．20 B．40 C．202 D．
【详解】5x
当且仅当2x=5y=22，即
故5x+2
【变式2-1】1.（2023·全国·高一专题练习）设a2b0，则a2+2
【详解】a2
当且仅当ab=1abaa?2b=
【变式2-1】2.（多选）（2022秋·安徽合肥·高一校考阶段练习）设abc0，则当2a
A．a=2 B．b=22 C．c=2
【详解】因为abc0，所以
原式=
=
≥2
当且仅当ab=1a(a?b)=1a=5c，即a=2，b=22
【变式2-1】3.（2020秋·广东·高二校联考阶段练习）已知m0，n0，则当81m
A．12 B．32 C．52
【详解】由m0，n0，得81m
当且仅当9m=n18mn=
【变式2-1】4.（2022·全国·高三专题练习）a,b,c是不同时为0的实数，则ab+bca
A．12 B．14 C．22
【详解】若要使ab+bca2+2b2
不妨设a,b,c均为正实数，
则ab+bca
当且仅当a2+c2b=2b，且a=c取等，即
【变式2-1】5.（2022·全国·高三专题练习）设a,b,c0,且不等式12a
A．13 B．6 C．8 D．62.
【详解】因为a,b,c0,且不等式12a
所以不等式t≤a+b+c
而a+b+c12a+
当且仅当b=2a=2c时，等号成立，所以t≤8，则实数t的最大值为8.
【变式2-1】6.（2022·高一单元测试）已知ab0，那么当代数式a2+4ba?b
【详解】解：由ab0，得a?b0，
所以b(a?b)≤b+a?b22=a
所以a2+4ba?b
所以当a2+4ba?b取最小值时，a2=
【变式2-1】7.（2023·全国·高一专题练习）若a，b∈R，ab0，则aba
A．14 B．12 C．2
【详解】∵a4+4
∴
又4ab+1ab≥24ab?1
∴a2=2b2
所以aba4+4
题型3消元法
【方法总结】
如果不容易直接观察出均值，可以反解代入消元，在构造“单变量”均值形式求解
【例题3】（2023秋·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）已知a,b,c均为正实数，ab+ac=4，则2a
【详解】设a=x，b+c
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