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第八单元数学广角—数与形
(思维导图+知识梳理+典型精讲+真题演练)
知识点一:数学广角—数与形
1、运用数形结合的方法探索规律。
从1开始的n个连续奇数相加的和可以用n2表示,即1+3+5+7+9+…+(2n-1)=n2。
2、借助直观图形解决比较复杂的问题。
从开始的数列、、......的和是1。
考点一:数学广角—数与形
【典例一】仔细分析,摆第5个图形需要用(????)根小棒。
????????????
A.20 B.30 C.26
【分析】通过观察发现:每增加1个正六边形,就增加5根小棒。即第1个图形需要用1+5=6(根)小棒;第2个图形需要用1+5×2=11(根);第3个图形需要用1+5×3=16(根)小棒;……由此发现规律:第n个图形需要用(1+5n)根小棒。
【详解】1+5×5
=1+25
=26(根)
所以摆第5个图形需要用26根小棒。
故答案为:C
解答数形结合类规律探索问题时,要仔细观察数与形之间的关系,先找到数与形之间隐含的数学规律,再利用规律进行解答即可。
【典例二】下表中下一行自然数的个数是上一行的2倍,根据规律第五行的最后一个数是(????)。
第一行
1
第二行
2,3
第三行
4,5,6,7
…
…
A.15 B.31 C.45 D.63
【分析】观察发现每一行数字的特点:
第一行有1个数字且第一行第一个数字是1;
第二行有2个数字且第二行第一个数字是2,2=21=22-1;
第三行有4个数字且第三行第一个数字是4,4=22=23-1;
……
规律:第n行有2n-1个数字,第一个数字是2n-1,按此规律解答。
【详解】规律:第n行有2n-1个数字,第一个数字是2n-1。
当n=5时
2n-1=25-1=24=16
第五行有16个数字,且第一个数字是16;
最后一个数字是:16+16-1=31
根据规律第五行的最后一个数是31。
故答案为:B
本题是找规律的题型,从已知的数据中找到规律,并按规律解题。
【典例三】如下图,画2个正方形能得到4个直角三角形,画3个正方形能得到8个直角三角形,画4个正方形能得到()个直角三角形,画10个正方形能得到()个直角三角形。
【分析】观察图发现,正方形个数是2个,直角三角形个数是4个,每增加一个正方形,直角三角形个数新增加4个,那么直角三角形的个数=(正方形个数一1)×4。据此解答。
【详解】(4-1)×4
=3×4
=12(个)
(10-1)×4
=9×4
=36(个)
即画4个正方形能得到12个直角三角形,画10个正方形能得到36个直角三角形。
数和图形的规律是相对应的,图形的排列有什么变化规律,数的排列就有相应的变化规律。
【典例四】(1)如果下图表示1,请在正方形中用阴影表示。????
(2)通过下图,你发现可以怎样非常简便计算的和?写出你的计算方法和结果。
(3)如果在图中继续你的操作,会发现…的和越来越接近于(????)。
【分析】(1)正方形表示“1”,先把正方形平均分成2份,一份是,剩下的也是;然后把剩下的图形平均分成2份,一份是,剩下的也是;再把剩下的图形平均分成2份,一份是,剩下的也是;最后把剩下的图形平均分成2份,一份是,剩下的也是,据此在图中用阴影表示。
(2)计算,通过画图发现最后剩下的是,与算式中最后一个分数相同,那么用整个正方形“1”减去,即是阴影部分,也就是的和,这样计算更简便。
(3)如果在图中继续如上的操作,把剩下的图形平均分成2份,一份是,剩下的也是…,会发现…的和越来越接近于整个正方形,即1。
【详解】(1)如图:
(2)用1减去图形没有涂色部分的分数(与算式中最后一个分数相同),计算更简便。
计算过程如下:
(3)如图:
如果在图中继续你的操作,会发现…的和越来越接近于1。
通过画图,发现这组算式的规律,利用规律解答。
一、选择题
1.(2022·河南安阳·统考小升初真题)按规律填数:1,4,10,19,31,□,64…,□里应填(????)。
A.41 B.46 C.48
2.(2022·湖南长沙·雨花外国语学校校考小升初真题)观察下图,寻找规律,问号处应填入(????)。
A. B. C. D.
3.(2021·浙江杭州·统考小升初真题)如图所示,用黑白两种颜色的正五边形地砖按下图所示的规律,拼成若干个蝴蝶图案,则第7个蝴蝶图案中白色地砖有(????)。
A.35块 B.27块 C.22块 D.7块
4.(2022·河南南阳·统考小升初真题)在一个平面上有68个点,一共可以连(????)条线段。
A.68 B.2278 C.2346 D.1190
5.(2023春·山东日照·六年级统考期末)用小木棒按下图方式摆放图形,第⑧个图形需要(????)根小木棒。
A.33 B.30 C.
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