教九级上册相似三角形中的证明与计算讲义.docxVIP

主题

相似三角形中的证实与计较

教学内容

进修目标：

1．综合运用所学断定定理连络相似三角形的定义进展断定或计较；

2．综合运用相似三角形的性质解决几何问题．

互动〔此环节设计时辰在20－30分钟〕

相似三角形的断定定理：

相似三角形的性质定理：

回忆上次课的预习考虑内容

：如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，EC和BD订交于点O，联接DE．

〔1〕求证：△EOD∽△BOC；〔2〕假设S△EOD＝16，S△BOC＝36，求的值．

参考谜底：〔1〕证实：在△BOE与△DOC中

∵∠BEO＝∠CDO，∠BOE＝∠COD

∴△BOE∽△COD

∴即

又∵∠EOD＝∠BOC∴△EOD∽△BOC

(2)∵△EOD∽△BOC∴

∵S△EOD＝16，S△BOC＝36∴

在△ODC与△EAC中

∵∠AEC＝∠ODC，∠OCD＝∠ACE

∴△ODC∽△AEC∴

即∴

问题1：上题中假设何证实△ADE∽△ABC？

参考谜底：先证△ABD∽△ACE，再按照两边对于成比例且夹角相等即可。

问题2：上题中共有多少对相似三角形？

参考谜底：8对

精选例题：〔此环节设计时辰在40－50分钟〕

例题1：如图，在△ABC中，D是AB的中点，过点D的直线交边AC于点E，交BC的迟误线于点F，

求证：．

教学声名：此题考查三角形一边的平行线性质定理推论；注重讲解此类题作平行线的不合体例；

证实：如图，过点C作CG∥AB，交DF于点G．

∵CG∥AD，∴，同理：，

又∵AD=BD，

∴，∴

∴

试一试：如图，直线BD交AC、AB于D、F，交CB的迟误线于E，且，．求的值．

参考谜底：如图，过点D作DG∥BC，交AB于点G，

那么有，

又∵，∴设AF=7k，FB=3k，那么AB=10k，

于是AG=4k，GF=3k，

∴．

例题2：：如图，正方形ABCD的边长是1，P是CD的中点，点Q是线段BC上一动点，当BQ为何值时，以A,D,P为顶点的三角形与以Q,C,P为顶点的三角形相似．

分析：△ADP与△QCP相似时，∠D=∠C=90°，分两种情况谈判

解：∵正方形ABCD的边长是1，P是CD的中点，∴PD=PC=

①当∠DPA=∠CPQ时，，即，解得CQ=1，∴；

②当∠DPA=∠PQC时，，，解得，∴

试一试：如图，在正方形ABCD中，E为BC中点，点F在CD边上，且DF=3FC，联络AE、AF、EF，图中是否存在与∠EAF相等的角？假设存在，请写出并加以证实；假设不存在，请声名出处．

参考谜底：图中存在与相等的角，分袂是和

由正方形ABCD得，

∵E为BC中点，DF=3FC，

∴，，∴

在和中，∵且∴∽．

∴，且

在中∵，

∴∴，

∴，

又∵，∴∽，

∴同理．

例题3：如图，在中，，于，是的中点，的迟误线与的迟误线交于点．

〔1〕求证：△FDC∽△FBD；〔2〕求证：．

证实：〔1〕∵，

∴∠ACD+∠DCB=∠B=∠DCB=90°

∴∠ACD=∠B

∵是的中点∴DE=EC

∴∠ACD=∠FDC

∴∠FCD=∠B∴△FDC∽△FBD

(2)∵△FDC∽△FBD∴

∵在和中，∴

试一试：如图，梯形中，，，点在边上，与订交于点，且．

求证：〔1〕∽；〔2〕．

证实：〔1〕在梯形中，

∵，

∴

∵，

∴△∽△

∴∵

∴△∽△

证实：〔2〕∵△∽△，∴

∵

∴△∽△∴

∴∴

例题4：如下列图，在直角梯形ABCD中，∥，点E在BC上，点F在AC上，

〔1〕求证：∽；

〔2〕当AD=8，DC=6，点E，F分袂是BC，AC的中点时。求直角梯形ABCD的面积

解：〔1〕在梯形ABCD中，∥∴∠DAF=∠ACE

又∵∠DFC=∠AEB，∠DFC=∠DAF+∠ADF，∠AEB=∠ACE+∠CAE

∴∠ADF=∠CAE，∴∽

〔2〕∵AD=8，DC=6，，∴AC=10，

又∵F是AC的中点，∴AF=5，

∵∽，∴,∴