新教材2023版高中数学第4章计数原理4.4二项式定理1学生用书湘教版选择性必修第一册.doc

4．4二项式定理(1)

最新课程标准

(1)能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理．

(2)会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．

新知初探·课前预习——突出基础性

教材要点

要点一二项式定理

(a＋b)n＝Cn0an+Cn1an-1b+…+Cnran-rbr＋…＋Cnnbn?，

在二项式定理中，如果设a＝1，b＝x，则(1＋x)n＝Cn0+

要点二二项展开式的通项

二项展开式中的Cnran－rbr叫作二项展开式的通项，用Tr＋1表示，即通项为展开式的第r＋1项：Tr＋1＝Cnran－r

批注?(1)展开式共有n＋1项，各项的次数都是n；

(2)字母a按降幂排列，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，次数由0逐项加1直到n.

批注?(1)通项是二项展开式的第r＋1项，而不是第r项；

(2)(a＋b)n与(b＋a)n的二项展开式相同，但是(a＋b)n的第r＋1项为Cnran－rbr，(b＋a)n的第r＋1项为Cnrbn－rar.因此，应用二项式定理时，

基础自测

1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)(a＋b)n展开式中共有n项．()

(2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．()

3Cnran－rbr是(a＋b)n展开式中的第r项．

(4)(a－b)n与(a＋b)n的二项展开式的二项式系数相同．()

2．(x－2x)n的展开式共有11项，则n等于(

A．9B．10C．11D．8

3．(1－5x)5展开式中的第2项为()

A．－25xB．25x

C．－25D．250x2

4．在(1－2x)4的展开式中，x3的系数为()

A．48B．32

C．－48D．－32

5．用二项式定理展开(2x－1)4＝________．

题型探究·课堂解透——强化创新性

题型1二项式定理的正用、逆用

例1(1)写出展开式：(2x－32x2

(2)化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．

方法归纳

运用二项式定理解题的两个策略

巩固训练1(1)S＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4x－3，则S等于()

A．x4B．x4＋1

C．(x－2)4D．x4＋4

(2)(x＋1x)6的展开式为________

题型2求二项展开式中与特定项相关的量

角度1二项展开式中的特定项问题

例2(1)在(x－2)5的展开式中，x2的系数为()

A．－5B．5

C．－10D．10

(2)在二项式(x－13x)12的展开式中，求①第4项；②常数项；

方法归纳

二项展开式的通项Tr＋1＝Cnran－rbr的主要作用是求展开式中的特定项，常见的题型有：①求第r项；②求含xr(或xpyq)的项；③求常数项；

巩固训练2(1)二项式(1＋2x)7的展开式中含x3项的系数为()

A．35B．70C．140D．280

(2)(2x＋1x)6的展开式中，常数项为________

角度2两个二项式积的展开式中的特定项问题

例3[2022·湖南怀化月考](x2＋1)(1x－2)5展开式的常数项为(

A．112B．48C．－112D．－48

方法归纳

求形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N＋)的展开式中与特定项相关的量的步骤

巩固训练3(x2＋1)(2x＋1)6展开式的x2的系数是________．

角度3形如(a＋b＋c)n的展开式中的特定项问题

例4(x2＋3x－1)4的展开式中x的系数为()

A．－4B．－8

C．－12D．－16

方法归纳

求形如(a＋b＋c)n(n∈N＋)的展开式中与特定项相关的量的3种方法

巩固训练4(x－1x－1)4的展开式中，常数项为________

题型3根据特定项及系数求参数

例5(1)[2022·湖南衡阳测试]已知(x＋ax)6的展开式中的常数项为－160，则实数a＝(

A．2B．－2

C．8D．－8

(2)若(2－ax)5(x＋1)2展开式中x2的系数为272，则实数a＝________．

方法归纳

已知二项展开式中的特定项的系数求参数，一般是利用通项公式并进行化简后，令字母的指数符合要求(常数项的指数为零；有理项的指数为整数等)，解出r，代回通项公式解方程即可求出参数．

巩固训练5(1)[2022·湖南长郡中学月考]设x-2x6的展开式中x3的系数为a，则

(2)已知(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0，则正实数a＝__