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二 极 坐 标 系;极坐标系与点的极坐标

1．极坐标系：在平面内取一个定点O，叫做极点，自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一

个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，就建立了极坐标系.;2.点的极坐标：设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫

做点M的极径,记为ρ；以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角,记为θ.;1.点与极坐标可以建立一一对应关系吗？

提示：由于极坐标系中，对于给定的有序数对(ρ，θ)都有惟一确定的点与之对应，但是，对于给定一点M,可以有无数个有序数对(ρ,θ+2kπ)(k∈Z)与之对应，所以极坐标系中的点与极坐标不能建立一一对应关系.;2.如图所示，已知△OM′M是等腰直角

三角形，且｜OM′｜= ,则点M的一个极坐标是 .

【解析】由题意，得;3.在极坐标系中，与点;1.极坐标系与平面直角坐标系的区别;2.点的极坐标的多样性

在平面直角坐标系内，对于给定的有序数对(x,y)都有惟一确定的点与之对应，反之，对于给定一点M,也有惟一的有序实数对(x,y)与之对应，也就是说，点与有序实数对是一一对应的.;在极坐标系中，由于点M的极坐标不惟一，即点的极坐标可以

是(ρ,θ+2kπ)(k∈Z)，所以极坐标系中的点与极坐标之间不能建立一一对应关系.

如果规定ρ>0,0≤θ<2π，那么除极点外,平面内的点可用惟一的极坐标(ρ,θ)表示;同时,极坐标(ρ,θ)表示的点也是惟一确定的.;类型 一 极坐标系与点的极坐标

【典型例题】

1.在极坐标系中，极坐标(1,π)表示的点M与极点O之间的距离为 ，点M的极角为 .;2.关于极坐标的下列叙述：

①极轴是一条直线；

②极坐标(ρ,θ)表示的点不惟一；

③极坐标(2,2kπ)(k∈Z)表示的点在极轴上；

④点 的轨迹是端点为极点的射线.其中正确的是 (填序号).;【解题探究】1.点的极坐标的意义是什么？

2.理解极坐标系的概念的关键是什么？探究提示：

极坐标是点到极点的距离与角的弧度数构成的有序数对.

理解极坐标系的概念关键要明确极点、极轴、极径与极角等.;【解析】1.在极坐标系中，极坐标(1,π)表示的点M与极点O

之间的距离为1，点M的极角为π.答案：1 π;2.极轴是一条射线,①不正确；

点的极坐标不惟一，而极坐标(ρ,θ)表示的点是惟一的，

②不正确；

极坐标(2,2kπ)(k∈Z)表示的点是惟一的，且在极轴上，

③正确；;【拓展提升】极坐标系与点的极坐标的特点

极坐标系是由始边、终边构成的角为背景的平面坐标系，点M的极坐标(ρ,θ)的几何意义是 ∠xOM=θ(一般用弧度数表示).

在极坐标系中，点M的极坐标不惟一，可以表示为(ρ,θ+2kπ)(k∈Z)，其中θ∈［0,2π).;类型 二 点与极坐标的对应关系以及距离公式

【典型例题】

在极坐标系中，M(3,0)，N(2, ),则|MN|= .

如图，在极坐标系中，(1)作出以下各点：;【解题探究】1.如何确定极坐标系中点的位置？

2.极坐标系中点的极坐标惟一吗？探究提示：

根据点的极径与极角确定点的位置.

极坐标系中，如果极角的弧度数为任意实数，则点的极坐标不惟一.;【解析】1.在极坐标系中，由于M(3,0)，;【互动探究】若题2(2)中条件不变，如何求|EF|?

【解析】极坐标系中，由于OE⊥OF,且ρE=4,ρF=3,由勾股定理，得;【拓展提升】点与极坐标的对应关系以及两点间的距离公式

(1)在极坐标系中，点的极坐标不惟一，这是由于与角θ1的终边相同的角的集合为{θ|θ=θ1+2kπ,k∈Z}.

如果限定ρ≥0,θ∈［0,2π)，那么，除极点外，点与有序数对(ρ,θ)可以建立一一对应关系.;(2)在极坐标系中，如果P1(ρ1,θ1),P2(ρ2,θ2),那么两点间

的距离公式 的两种特殊情形

为：

①当θ1=θ2+2kπ,k∈Z时，

②当θ1=θ2+π+2kπ,k∈Z时，;类型 三 极坐标法解决实际应用问题

【典型例题】

在某红绿灯O东偏北30°处有一图书馆A,OA=30 m,学校B在红绿灯的北偏西30°，OB=40 m,则AB= .

如图,以温州所在城市为极点，正东方向为极轴正方向，建立极坐标系，今有某台风中心在东偏南60°，距离极点800千米处，假设当距离台风中心700千米时应当发布台风蓝色警报,已知福州所在城市的极坐标为;(1)求台风中心的极坐标.;【解题探究】1.如何建立数学模型解决实际应用题？

2.如何建立极坐标系求两点间的距离？探究提示：

以点O为极点，正东方向为极轴正方向建立极坐标系,求点的极坐标再求两点间的距离.

在极坐标系中，点的极坐标是距离与角构成的有序数对，正确选择极点与极轴，注意极角的始边与终边.根据极坐标研究两